Laurent-Reihe bei gegebenem Konvergenzradius ermitteln

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fysikant Auf diesen Beitrag antworten »
Laurent-Reihe bei gegebenem Konvergenzradius ermitteln
Meine Frage:
a) Ermitteln Sie eine Laurent-Reihe von mit dem Konvergenzkreis |z| < 2.
b) Ermitteln Sie eine Laurent-Reihe von die für |z| > 2 konvergiert.
c)a) Ermitteln Sie eine Laurent-Reihe von mit Konvergenzkreisring 2 < |z| < 3.

Meine Ideen:
Zunächst habe ich eine Taylorentwicklung gemacht und erhalten.
Dies sollte eine Laurent-Reihe geben, deren Nebenterm = 0 ist: .
Nur wie passe ich dies auf einen Konvergenzbereich an?
Der Konvergenzbereich ist gegeben durch
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von fysikant

Diese Formel hast du in geradezu unglaublich vielen Details vergurkt: Falsches Symbol statt im Nenner, falscher Laufindex ( vs. ), und ein überzähliger Faktor obendrauf. unglücklich

Richtig ist

,

letzteres für .
fysikant Auf diesen Beitrag antworten »

Ah, ja, da hätte ich wohl besser auf die Standardangaben beim hiesigen LaTeX-Editor schauen müssen. Tut mir leid, so steht da wirklich nichts sinnvolles. Danke für die Berichtigung!

Gut, nehmen wir die korrekte Taylor-Reihe .
Als Laurent-Reihe ergibt dies dann doch: .

Wie bringe ich dann die Bedingungen an den Konvergenzkreis ins Spiel?

Ich erhalte und weiss anschliessend nicht so recht wie weiter.

Danke für die Hilfestellung. smile
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Die Taylorreihe mit Entwicklungspunkt ist bereits die korrekte Laurentreihe für in Teilaufgabe a).

Zitat:
Original von fysikant
Als Laurent-Reihe ergibt dies dann doch: .

Wovon sprichst du hier, von a) oder b) ?

Wie auch immer, diese Reihe passt für keine der beiden Teilaufgaben.

a) haben wir schon (s.o.). Die Laurentreihe für b) lässt sich ermitteln, indem man für dasselbe zunächst ansetzt und dann in eine Taylorreihe im Punkt 0 entwickelt. Mit ist somit und somit



was nach Rücksubstitution



bedeutet.


P.S.: Eine Anmerkung noch zu den Taylorentwicklungen - das sind hier alles einfache geometrische Reihen. Das sollte man berücksichtigen statt sich jedesmal einen Wolf zu rechnen. Augenzwinkern
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