Beweis einer Cauchyfolge

23.11.2016, 21:54

Emely1998

Beweis einer Cauchyfolge

Meine Frage:
Hallo,
wir haben folgende Aufgabe bekommen: Wir sollen zeigen dass die Folge $\begin{eqnarray*} (a_{n})_{n} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a_{n} = \frac{n}{n+1} \end{eqnarray*}$ eine Cauchyfolge ist.

Meine Ideen:
Also nach der Definition müsste es ja ein e>0 geben mit einem N für das $\begin{eqnarray*} | a_{n}-a_{m}| < e \end{eqnarray*}$ ist.
Also hab ich mal aufgestellt:
$\begin{eqnarray*} | \frac{n}{n+1} -\frac{m}{m+1} | < e<br /> \end{eqnarray*}$
Wenn ich jetzt sage n > m, kann ich ja die Betragsstriche weglassen:
$\begin{eqnarray*} \frac{n}{n+1} -\frac{m}{m+1}<= \frac{N}{N+1} -\frac{m}{m+1} < \frac{N}{N+1} < e \end{eqnarray*}$
Also N ist ja größer als n, also kann ich das ersetzen oder?
Da m/(m+1) > 0 ist das ja auf jeden Fall kleiner als N/(N+1), kann ich also weglassen und jetzt müsste ich ja die letzte Gleichung nach N umstellen können und hätte damit beweisen es gibt ein N und damit ist das eine Cauchyfolge.
Aber irgendwie hat die Gleichung keine Lösung.... Aber ich finde den Fehler nicht....

Vielen Dank für Hilfe im Voraus !!! smile

Liebe Grüße smile

24.11.2016, 09:34

Ehos

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Zu zeigen ist, dass die Differenz zwischen einem Folgeglied $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ und dessen Nachfolger $\begin{eqnarray*} a_{n+1} \end{eqnarray*}$ gegen Null konvergiert

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \underbrace{\left (\tfrac{n+1}{n+2}\right. }_{a_{n+1}}-\underbrace{\left. \tfrac{n}{n+1}\right )}_{a_n} =0 \end{eqnarray*}$

Bestimme den Hauptnenner in der Klammer (...). Dann sieht man es.

24.11.2016, 10:02

HAL 9000

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Zitat:

Original von Emely1998
$\begin{eqnarray*} \frac{n}{n+1} -\frac{m}{m+1}<= \frac{n}{n+1} -\frac{m}{m+1} {\color{red}<} \frac{n}{n+1} < e \end{eqnarray*}$

Irgendwie fehlt dir wohl (noch) das richtige Gespür für Terme. Die Abschätzung $\begin{align*} {\color{red}<} \end{align*}$ ist viiiiel zu grob angesichts $\begin{align*} \lim_{n\to\infty} \frac{n}{n+1} = 1 \end{align*}$ , und damit vollkommen untauglich für deinen beabsichtigten Zweck. unglücklich

Nutze die Differenz zum (offensichtlichen) Grenzwert, d.h. $\begin{align*} \frac{n}{n+1} = \frac{n+1-1}{n+1} = 1-\frac{1}{n+1} \end{align*}$ , damit ist

$\begin{align*} \frac{n}{n+1} -\frac{m}{m+1} = 1-\frac{1}{n+1} - 1+\frac{1}{m+1} = \frac{1}{m+1} - \frac{1}{n+1} < \ldots \end{align*}$ ,

damit solltest du Erfolg haben.

@Ehos

Nur zum unmittelbaren Nachbarn reicht natürlich nicht für den Cauchyfolgen-Nachweis. verwirrt

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