Betrag Lebesgue Integrierbarkeit

23.11.2016, 22:30

yellowman

Betrag Lebesgue Integrierbarkeit

Hallo, wir haben in der Vorlesung folgenden Satz aufgeschrieben.

Mit $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist auch $\begin{eqnarray*} |f| \end{eqnarray*}$ integrierbar und es gilt $\begin{eqnarray*} |\int f(x)dx|\leq\int |f(x) dx \end{eqnarray*}$

Das heißt ja soviel wenn $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ Lebesgue integrierbar $\begin{eqnarray*} \rightarrow |f| \end{eqnarray*}$ Lebesgue integrierbar.
Gilt hier auch die Umkehrung? Also $\begin{eqnarray*} |f| \end{eqnarray*}$ Lebesgue integrierbar $\begin{eqnarray*} \rightarrow f \end{eqnarray*}$ Lebesgue integrierbar?

Dann könnte man sagen $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ Lebesgue integrierbar $\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow |f| \end{eqnarray*}$ Lebesgue integrierbar.

Wenn ich es richtig verstanden habe gilt für das Riemann Integral nicht die Umkehrung.

Vielen Dank!

23.11.2016, 22:36

Guppi12

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Hallo, die Umkehrung gilt tatsächlich (unter der Voraussetzung der Messbarkeit von f, diese folgt nicht aus der Messbarkeit von |f|).

23.11.2016, 22:57

yellowman

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Hallo Guppi12, deinen Satz in der Klammer verstehe ich noch nicht so ganz.
Es gilt:

Über $\begin{eqnarray*} ]a,b[ \end{eqnarray*}$ absolut Riemann integrable Funktionen sind Lebesgue integrierbar und beide Integrale stimmen überein.

Wir haben auch noch definiert das eine Teilmenge $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ des $\begin{eqnarray*} \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ heißt Lebesgue meßbar falls $\begin{eqnarray*} 1_A \end{eqnarray*}$ Lebesgue integrierbar ist. In diesem Fall heißt $\begin{eqnarray*} \mu(A)=\int dx 1_A \end{eqnarray*}$ das Maß von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ .

Was ich etwas komisch finde aus dem ersten Satz gilt ja das eine Funktion Lebesgue integrabel ist, wenn $\begin{eqnarray*} \int_A|f|dx<\infty \end{eqnarray*}$ ... Wenn das gilt ist $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ Lebesgue und Riemann integrabel und beide Integrale stimmen überein ?

Das würde aber doch bedeuten wenn hier $\begin{eqnarray*} |f| \end{eqnarray*}$ integrabel ist dann muss doch auch $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ integrabel sein und das für das Lebesgue und Riemann Integral?

Vielen Dank!

23.11.2016, 23:06

Guppi12

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Ihr habt in der Vorlesung leider keinen maßtheoretischen Zugang zum Lebesgueintegral gewählt. Das spart zwar etwas Theorie, aber dadurch versteht man weniger, was wirklich passiert. Der Begriff der Messbarkeit einer Funktion sagt dir daher vermutlich garnichts. Die Umkehrung gilt dann im Allgemeinen nicht. Vielleicht habt ihr etwas wie lokale Integrierbarkeit definiert? In diesem Fall würde |f| integrierbar + f lokal integrierbar implizieren, dass f integrierbar ist.

Zitat:

Was ich etwas komisch finde aus dem ersten Satz gilt ja das eine Funktion Lebesgue integrabel ist, wenn $\begin{eqnarray*} \int_A|f|dx<\infty \end{eqnarray*}$

Wie das? Im ersten Satz wird die extrem starke Voraussetzung der Riemann-Integrierbarkeit gefordert.

24.11.2016, 13:52

yellowman

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Hallo Guppi12, das bring schonmal etwas Licht in's dunkel. Das du mich etwas besser verstehst mit welchen Sätzen wir momentan arbeiten hier habe ich eine Zusammenfassung der wichtigen Sätze.

Der Satz findet sich unter dem Lebegue Integral Bemerkungen.

Will man zeigen das eine Funktion Lebesgue integrierbar ist dann zeigt man $\begin{eqnarray*} \int_A|f|<\infty \end{eqnarray*}$ . Laut Skript lässt sich damit NUR die Lebesgue integrierbarkeit zeigen wenn $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ absolut Riemann integrierbar über $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ ist?

Unter den Bemerkungen taucht auch der Satz auf:

Mit $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist auch $\begin{eqnarray*} |f| \end{eqnarray*}$ integrierbar und es gilt $\begin{eqnarray*} |\int dx f(x)|\leq\int dx|f(x)|=||f||_1 \end{eqnarray*}$ (Abweichend vom Riemann Integral).

Wie ist das zu verstehen im Zusammenhang mit dem ersten Satz?

Wenn $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ absolut Riemann integrabel über eine Teilmenge $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ des $\begin{eqnarray*} \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ ist dann ist $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ auch Lebesgue integrierbar und beide Integrale stimmen überein.

Ich hoffe du verstehst etwas besser wo der Knoten in meinen Kopf ist.

Vielen Dank!

24.11.2016, 20:25

Guppi12

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Zitat:

Will man zeigen das eine Funktion Lebesgue integrierbar ist dann zeigt man $\begin{eqnarray*} \int_A|f|<\infty \end{eqnarray*}$ . Laut Skript lässt sich damit NUR die Lebesgue integrierbarkeit zeigen wenn $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ absolut Riemann integrierbar über $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ ist?

Ich weiß nicht, ob ich dich hier richtig verstehe, es ist keinesfalls für die Lebesgueintegrierbarkeit notwendig, dass $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ absolut Riemann-integrierbar ist. Das Kriterium, das im Skript steht, ist aber nur dann anwendbar. Wenn also $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ nicht absolut Riemann-integrierbar ist, dann muss man, falls $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ trotzdem Lebesgue-integrierbar ist, ein anderes Kriterium verwenden, zum Beispiel eine Folge von Treppenfunktionen finden, die in der $\begin{eqnarray*} L^1 \end{eqnarray*}$ -Halbnorm gegen $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ konvergiert.

Betreffend diesem Abschnitt

Zitat:

Unter den Bemerkungen taucht auch der Satz auf:

Mit $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist auch $\begin{eqnarray*} |f| \end{eqnarray*}$ integrierbar und es gilt $\begin{eqnarray*} |\int dx f(x)|\leq\int dx|f(x)|=||f||_1 \end{eqnarray*}$ (Abweichend vom Riemann Integral).

Wie ist das zu verstehen im Zusammenhang mit dem ersten Satz?

verstehe ich die Frage nicht ganz. Der eine Satz macht eine Aussage darüber, dass $\begin{eqnarray*} |f| \end{eqnarray*}$ Lebesgue-integriebar ist, wenn $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ es ist. Der andere Satz macht eine Aussage, dass $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ Lebesgie-integrierbar ist, wenn $\begin{eqnarray*} |f| \end{eqnarray*}$ Riemann-integrierbar ist. Was ist jetzt genau die Frage?

24.11.2016, 20:44

yellowman

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Danke erstmal ich werde mir das Ganze nochmal überlegen.

Viele Grüße!

26.11.2016, 12:23

yellowman

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Hallo, ich habe doch noch eine Frage zum Lebesgue Integral und deren Integrierbarkeit. Im Skript steht (Das ich weiter durcharbeite) folgendes:

Die Integration von Funktionen über Teilmengen $\begin{eqnarray*} A\subset\mathbb R^n \end{eqnarray*}$ wird auf die Intgration der Funktion $\begin{eqnarray*} f_A=f\cdot 1_A \end{eqnarray*}$ über ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ zurückgeführt: $\begin{eqnarray*} \int_Adx f(x)=\int_{\mathbb R^n} dx f_A(x) \end{eqnarray*}$

Frage: Bedeutet das nicht konkret das man hier das Riemann Integral anwendet um ein Lebesgue Integral auszuwerten?

Viele Grüße!

26.11.2016, 12:32

Guppi12

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Nein, beide Integrale in dieser Gleichung sind Lebesgue-Integrale.

26.11.2016, 19:47

yellowman

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Alles klar, danke schonmal. Ich habe allerdings noch weitere Fragen. Ich habe z.B. die Funktion gegeben:

$\begin{eqnarray*} f(x,y,z)=xyze^{-z^{2} } \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} A:=[-1,1]\times [-1,1]\times \mathbb R \end{eqnarray*}$

Will man nun zeigen das die Funktion Lebesgue integrierbar ist, dann kann ich zeigen
a) Über $\begin{eqnarray*} [a,b] \end{eqnarray*}$ Riemann-integrierbare Funktionen sind Lebesgue integrierbar und beide Integrale stimmen überein.
b) Über $\begin{eqnarray*} ]a,b[ \end{eqnarray*}$ absolut Riemann-integrierbare Funktionen sind Lebesgue-integrierbar, und beide Integrale stimmen überein.

Hier wird noch der Satz von Fubini benötigt.

$\begin{eqnarray*} \int_{-\infty}^{\infty}\int_{-1}^{1}\int_{-1}^{1}xyze^{-z^2}dxdydz \end{eqnarray*}$

Bei der x und y Integration kann ich mit a) argumentieren.

Damit sind beide Integrale nach a) Lebesgue integrierbar

Bei der z Integration muss ich mit b) argumentieren. Das heißt hier müsste demnach das Integral betrachtet werden:

$\begin{eqnarray*} \int_{-\infty}^{\infty}|z|e^{-z^2}dz=\int_{-\infty}^0ze^{-z^2}dz+\int_0^{\infty}ze^{-z^2}dz=0 \end{eqnarray*}$

Damit gilt also: $\begin{eqnarray*} \int_{-\infty}^{\infty}\int_{-1}^{1}\int_{-1}^{1}xyze^{-z^2}dxdydz=0 \end{eqnarray*}$ und damit ist $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ über $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ Lebesgue integrierbar und beide Integrale (Riemann und Lebesgue) stimmen überein.

Die Argumentation wäre so korrekt?

Viele Grüße!

27.11.2016, 16:48

yellowman

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Ich habe noch eine weitere Frage.

Angenommen ich habe die Menge $\begin{eqnarray*} A=\{-2\leq x\leq 2,y=x^3\} \end{eqnarray*}$ und ich möchte das Maß bestimmen.

$\begin{eqnarray*} \mu(A)=\int_{-2}^2\int_0^{x^3}1dydx=0 \end{eqnarray*}$

Also $\begin{eqnarray*} \mu(A)=0 \end{eqnarray*}$ und damit ist $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ eine Nullmenge. Nun ist jede Teilmenge einer Nullmenge eine Nullmenge.

Eine Teilmenge von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ wäre doch $\begin{eqnarray*} B=\{-1\leq x\leq 2,y=x^3\} \end{eqnarray*}$

Das Maß von $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ ist allerdings nicht Null. Wo hackt es denn hier?

Viele Grüße!

27.11.2016, 19:30

Guppi12

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Hallo,

mach dafür bitte mal ein neues Thema auf, das hat mit der ursprünglichen Frage ja nicht mehr so viel zu tun und ich habe gerade keine Zeit, darauf einzugehen. In einem neuen Thread wird sich sicher jemand finden, der es dir erklären kann.

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