Hessematrix und Extremstellen

23.11.2016, 23:10	vpr	Auf diesen Beitrag antworten »
Hessematrix und Extremstellen Wenn man bei einer f(x,y) funktion die Extremstellen berechnen möchte muss man am ende die determinante auf < 0 und > 0 überprüfen. Wenn sie <0 ist, dann ist es ein Sattelpunkt. Bei > 0 ist es ein Extremwert. Mir ist nicht ganz klar wie ich jetzt einen Hochpunkt und Tiefpunkt bestimmen kann. Müssen da jetzt fxx und fyy beide > 0 oder < 0 sein? was passiert wenn eins von beiden > 0 und das andere < 0 ist, geht das überhaupt? und was ist es, wenn die determinante = 0 ist?
24.11.2016, 01:23	Vanessa Precious	Auf diesen Beitrag antworten »
Also ich erklärs dir Mal: Wenn du die Extremstellen einer Funktion berechnen willst, dann kannst du das entweder mithilfe einer Monotonietabelle machen oder mithilfe der 2. Ableitung. Ich zeige dir mal letzteres. 1. Schritt: 1. und 2. Ableitung der Funktion bestimmen 2. Schritt: Nullstellen der 1. Ableitung berechnen, d.h. Lösen der Gleichung f'(x)=0 3. Schritt: Für jede Nullstelle x0 der 1. Ableitung den Funktionswert f''(x0) berechnen und das Ergebnis auswerten. Dabei gilt: f''(x0)>0 heißt relatives Minimum bei x0 (TIP) f''(x0)<0 heißt relatives Maximum bei x0 (HOP) f''(x0)=0 heißt, dass ein Terassenpunkt möglich ist (diesen kannst du mithilfe einer Monotonietabelle herausfinden) Zum Beispiel: f(x)= x - ln x; Df = R+ Schritt 1: f'(x) = 1-1/x = 1-x^-1 f''(x) = 0-(-1)x^-2 = 1/x^2 Schritt 2: f'(x) = 0 <-> 1-1/x = 0 <-> x = 1 Schritt 3: f'(1) = 1/1^2 = 1 > 0* -> relatives Minimum bei x = 1 -> Gf hat also den Tiefpunkt (1/f(1)) = (1/1) Am Besten wäre es, wenn du dir auf Youtube den Kanal "SimpleMathClub" anschaust. Die erklären das echt gut für Schüler Liebe Grüße und gute Nacht, Vani
24.11.2016, 09:16	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
@Vanessa Precious Was du sagst, trifft auf Funktionen f(x) zu, die von einer Variable abhängen. @vpr Bei Funktionen f(x,y), die von 2 Variablen abhängen, geht man wie folgt vor: 1.Schritt: An den kritischen Punkten $\begin{eqnarray} (x_0, y_0) \end{eqnarray}$ , wo also der Gradient $\begin{eqnarray} \nabla f \end{eqnarray}$ verschwindet, stellt man die Hesse-Hatrix H auf $\begin{eqnarray} H=\begin{pmatrix} \tfrac{\partial ^2f}{\partial x^2} & \tfrac{\partial ^2f}{\partial x \partial y} \\ \tfrac{\partial ^2f}{\partial y \partial x} & \tfrac{\partial ^2f}{\partial y^2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} E & F \\ F & G \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Diese Hesse-Matrix ist offenbar symmetrisch. 2.Schritt: Man berechnet die beiden Eigenwerte von H. Zu lösen ist also die quadratische Gleichung $\begin{eqnarray} \det \begin{pmatrix} E-\lambda & F \\ F & G-\lambda \end{pmatrix}=\lambda^2-(E+G)\cdot \lambda+\underbrace{EG-F^2}_{\det(H)}=0 \end{eqnarray}$ Mit der pq-Lösungsformel ergibt sich $\begin{eqnarray} \lambda_{1;2}=\tfrac{E+G}{2}\pm\sqrt{\left (\tfrac{E-G}{2}\right )^2+F^2} \end{eqnarray}$ 3.Schritt: Fallunterscheidung: Fall 1: Maximum, wenn beide Eigenwerte negativ Fall 2: Minimum, wenn beide Eigenwerte positiv Fall 3: Sattelpunkt, wenn ein Eigenwert positiv und ein Eigenwert negativ Wenn einer oder beide Eigenwerte verschwinden, müssen an den kritschen Punkten höhere Ableitungen untersucht werden. Das ist ähnlich wie bei Funktionen, die von einer Variablen abhängen. Dort hat z.B. die Funktion $\begin{eqnarray} f(x)=x^4 \end{eqnarray}$ bei x=0 ein Minimum. Trotzdem verschwinden dort die 1. und 2. und 3.Ableitung. Erst die 4.Ableitung ist positiv.

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