Riemann-Integral von f(x) = x

24.11.2016, 11:44

Lilu20

Riemann-Integral von f(x) = x

Meine Frage:
Wie berechne ich das Riemann-Integral von der Funktion x, im Intervall (0,1) mit der Länge n.

Meine Ideen:
Ich habe die Freinheit 1/n schon ausgerechnet, sowie die Zerlegungspunkte.

24.11.2016, 12:10

klarsoweit

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RE: Riemann-Integral von f(x) = x

Zitat:

Original von Lilu20
Ich habe die Freinheit 1/n schon ausgerechnet

Vielleicht willst du jetzt Formen für Über- und Untersumme aufstellen. Am besten postest du mal den originalen Aufgabentext.

24.11.2016, 12:20

Lilu20

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RE: Riemann-Integral von f(x) = x
Sei f: (0,1) mit f(x) = x . Für alle n sei pn eine äuidisante Partition von (0,1) der Länge n.
Zeigen sie lim n--> unendlich ist die Summe f = 1/2

24.11.2016, 13:03

klarsoweit

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RE: Riemann-Integral von f(x) = x
Von was soll da denn jetzt der Limes betrachtet werden? (Also der originale Text ist das meines Erachtens nicht.)

24.11.2016, 17:37

Namenloser324

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RE: Riemann-Integral von f(x) = x

Zitat:

Original von Lilu20
Sei f: (0,1) mit f(x) = x . Für alle n sei pn eine äuidisante Partition von (0,1) der Länge n.
Zeigen sie lim n--> unendlich ist die Summe f = 1/2

äquidistant, d.h. also du musst die Punkte 0, 1/n, ..., (n-1)/n betrachten und erhälst als riemannsumme

$\begin{eqnarray*} S = sum_{k=0}^{n-1} f(k/n)*1/n = sum_{k=0}^{n-1} k/n*1/n = (1/n^2) * sum_{k=0}^{n-1} k = \dots \end{eqnarray*}$

24.11.2016, 19:53

yellowman

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RE: Riemann-Integral von f(x) = x
Willst du konkret das Integral über Infimum und Supremum der Ober und Untersumme bestimmen so macht man dies folgendermaßen:

Du wertest folgende Reihe aus $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}\sum_{k=0}^{n}f\left(a+k\frac{b-a}{n}\right)\frac{b-a}{n}=\int_a^b f(x)dx \end{eqnarray*}$

Konkret für dein Beispiel also:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}\sum_{k=0}^{n}k\frac{1}{n}\cdot\frac{1}{n}=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=0}^{n}\frac{k}{n^2}=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^2}\sum_{k=0}^{n}k \end{eqnarray*}$

Ab hier solltest du selbst weiter kommen. Als Stichwort um die Summe auszuwerten werfe ich mal noch die Summenformel und Gauß in die Runde.

Viele Grüße!

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