Begründung warum natürliche Parametrisierung immer gleich 1 ist

24.11.2016, 16:58	GOLFMKI	Auf diesen Beitrag antworten »
Begründung warum natürliche Parametrisierung immer gleich 1 ist Hallo, wie der Titel es schon sagt suche ich eine Begründung warum folgendes immer gilt: Wenn ich in meine Parametrisierung meine Inverse der Bogenlängenfunktion einsetze ist mein Tangentenvektor immer der Länge = 1. Nun soll ich das für verschiedenste Parametrisierungen gerade nachweisen, dass mein Tangentenvektor mit oben beschriebener Vorgehensweise =1 ist. Gibt es nicht einen allgemeinen Beweis der für sämtliche Parametrisierungen gültig ist? Oder einen klugen Spruch, mit dem man argumentieren kann. Denn ich soll nach den Rechnungen jeweils eine Begründung angeben, warum dies so ist. Aber habe keine Ahnung... Bedanke mich für eure Hilfe! LG Patrick
25.11.2016, 09:20	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn man eine Raumkurve $\begin{eqnarray} \vec x(t) \end{eqnarray}$ als Flugbahn eines Insektes interpretiert und den Parameter t als die Zeit, dann ist die Tangente $\begin{eqnarray} \tfrac{d\vec x}{dt} \end{eqnarray}$ der momentane Geschwindigkeitsvektor des Insektes. Der Betrag dieses Vektors ist also der Betrag der Geschwindigkeit $\begin{eqnarray} \|\tfrac{d \vec x}{dt}\|=v \end{eqnarray}$ ______________________Formel 1 Betrachtet man dieselbe Kurve $\begin{eqnarray} \vec x(t) \end{eqnarray}$ als verkettete Funktion $\begin{eqnarray} \vec x[s(t)] \end{eqnarray}$ , wobei s die Bogenlönge ist, dann lautet die Zeit-Ableitung mittels Kettenregel $\begin{eqnarray} \tfrac{d\vec x}{dt}=\tfrac{d\vec x}{ds}\tfrac{ds}{dt} \end{eqnarray}$ __________________Formel 2 Da s die Bogenlänge ist, ist der 2.Faktor der Betrag des Geschwindigkeitsvektors (also derselbe Wert wie in Formel 1). $\begin{eqnarray} \tfrac{ds}{dt}=\tfrac{\text{Weg}}{\text{Zeit}}=\|\tfrac{d\vec x}{dt}\|=v \end{eqnarray}$ ________Formel 3 Einsetzen von Formel 3 in Formel 2 liefert $\begin{eqnarray} \tfrac{d\vec x}{dt}=\tfrac{d\vec x}{ds}\cdot \|\tfrac{d\vec x}{dt}\| \end{eqnarray}$ Bildet man auf beiden Seiten den Betrag und dividiert anschließend durch $\begin{eqnarray} \|\tfrac{d\vec x}{dt}\| \end{eqnarray}$ , so folgt das Gewünschte $\begin{eqnarray} 1=\|\tfrac{d\vec x}{ds}\| \end{eqnarray}$
25.11.2016, 23:09	Namenloser324	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Begründung warum natürliche Parametrisierung immer gleich 1 ist d/ds x(t(s)) = dx/dt * dt/ds = v * dt/ds. (x ist der ortsvektor) Falls gilt das dt/ds = 1/v so wäre das Problem gelöst. Schau mal nach was für die Ableitungen von Funktionen und ihrer Umkehrfunktion gilt. (oder denk es dir selbst, es ist sehr einfach). Hinweis: gilt natürlich nur, wenn \|v\| immer > 0 ist (sonst ist s(t) nicht eindeutig und damit nicht umkehrbar)

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