Linearer Operator unbeschränkt

24.11.2016, 17:16

Dakinho

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Linearer Operator unbeschränkt

Meine Frage:
Zeigen Sie, dass der lineare Operator
$\begin{eqnarray*} A : (D,||.||_{\infty}) \rightarrow (C([0,1]),||.||_{\infty}); u \mapsto (pu')'+qu \end{eqnarray*}$
mit $\begin{eqnarray*} D:=\{u \in C^{2}([0,1]); R_0u=R_1u=0\} \subseteq (C([0,1]),||.||_\infty) \end{eqnarray*}$
nicht beschränkt ist. Hierbei ist $\begin{eqnarray*} q \in C([0,1]), p \in C^1([0,1]) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} p>0 \end{eqnarray*}$ und
$\begin{eqnarray*} R_ju=\alpha_{0,j}u(j)+\alpha_{1,j}p(j)u'(j) \end{eqnarray*}$
mit $\begin{eqnarray*} (\alpha_{0,j},\alpha_{1,j}) \in \mathbb K \backslash \{(0,0)\} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} j \in \{0,1\} \end{eqnarray*}$ .

Meine Ideen:
Also einen Ansatz habe ich ehrlich gesagt gar nicht so wirklich.
Blicke da gar nicht richtig durch bei den ganzen Zeichen und Indizes..

Kann wer helfen?

24.11.2016, 20:10

Guppi12

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Hallo Dakinho,

du hast Recht, die ganzen Zeichen und Indizes sind etwas verwirrend, die Variable $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ können wir aber schonmal loswerden:

Da der Operotor $\begin{eqnarray*} (D, \|\cdot\|_\infty)\to (C[0,1],\|\cdot\|_\infty), u \mapsto qu \end{eqnarray*}$ beschränkt ist, reicht es, sich den Operator $\begin{eqnarray*} u\mapsto (pu')' \end{eqnarray*}$ anzuschauen.

Es reicht, wenn du eine Folge $\begin{eqnarray*} (u_n)_n \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ findest, die beschränkt ist, für die aber $\begin{eqnarray*} (pu_n')' \end{eqnarray*}$ unbeschränkt ist. Sieh dir dafür mal $\begin{eqnarray*} u_n(x) = \sin(nx^2(1-x)^2) \end{eqnarray*}$ an.
Du musst nur einmal zeigen, dass diese Funktion in $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ liegen, danach bist du die ganzen Indize los.

24.11.2016, 22:19

Dakinho

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Hallo Guppi,
danke erstmal für deine Antwort!

Wieso weiß ich denn, dass $\begin{eqnarray*} u\mapsto qu \end{eqnarray*}$ beschränkt ist? Einfach wegen $\begin{eqnarray*} q\in C([0,1]) \end{eqnarray*}$ ?

Wenn ich gucke ob es in $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ liegt, wird es ja erstmal kompliziert. Bei dem $\begin{eqnarray*} R_ju \end{eqnarray*}$ blicke ich nämlich noch nicht so richtig durch, schaue mir das jetzt aber mal genauer an.

Ist mit dem $\begin{eqnarray*} u' \end{eqnarray*}$ eigentlich die Ableitung gemeint?
Sorry, wenn das jetzt eine doofe Frage ist, aber die Aufgabe macht mich echt fertig Hammer

Hammer

24.11.2016, 22:30

Guppi12

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Zitat:

Ist mit dem $\begin{eqnarray*} u' \end{eqnarray*}$ eigentlich die Ableitung gemeint?

Davon gehe ich aus.

Zitat:

Wieso weiß ich denn, dass $\begin{eqnarray*} u\mapsto qu \end{eqnarray*}$ beschränkt ist? Einfach wegen $\begin{eqnarray*} q\in C([0,1]) \end{eqnarray*}$ ?

Es gilt doch offensichtlicherweise $\begin{eqnarray*} |q(x)u(x)| = |q(x)||u(x)|\leq \|q\|_\infty|\|u\|_\infty \end{eqnarray*}$ , also auch $\begin{eqnarray*} \|qu\|_\infty \leq \|q\|_\infty|\|u\|_\infty \end{eqnarray*}$ , was gerade die Beschränktheit des angesprochenen Operators ist.

(Ich finde die Aufgabe übrigens um ehrlich zu sein reichlich merkwürdig. Es ist überhaupt nicht klar, wofür die ganzen Zusatzvoraussetzung gut sind, für mich sieht es so aus, als wären die einzig und allein dafür da, um künstlich Verwirrung zu schaffen, ich kann überhaupt keinen Nutzen darin erkennen.)

24.11.2016, 23:19

Dakinho

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Ja den Sinn dieser Aufgabe verstehe ich auch nicht wirklich, ähnelt auch nicht richtig den anderen Aufgaben des Blattes, die deutlich schöner sind.

Zurück zur Aufgabe: Wenn ich dann gezeigt habe, dass deine Funktion in $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ liegt, leite ich diese ab und nehme für das $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ eine beliebige stetig differenzierbare Funktion und leite nochmal ab.
Davon zeige ich dann die Beschränktheit und habe dann dadurch die Beschränktheit von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ .
Richtig?
Also soweit erstmal zur Theorie. Wie ich das mache, schaue ich mir morgen genauer an.

25.11.2016, 00:32

Guppi12

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Du willst doch Unbeschränktheit zeigen verwirrt

verwirrt

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25.11.2016, 10:41

Dakinho

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Meine ich doch, sorry Hammer

Hammer

28.11.2016, 20:55

Dakinho

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Ich muss die Frage nochmal hochholen, weil ich jetzt erst einen Fehler entdeckt habe.

Was kann ich denn als $\begin{eqnarray*} p \in C([0,1]) \end{eqnarray*}$ wählen, damit $\begin{eqnarray*} (pu')' \end{eqnarray*}$ unbeschränkt wird?

Ich hatte erst an $\begin{eqnarray*} p(x)=\frac{1}{cos(nx^2(1-x)^2)} \end{eqnarray*}$ , aber das kann ich ja gar nicht nehmen.

LG

28.11.2016, 21:04

Guppi12

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Du kannst p nicht selbst wählen. Das ist von der Aufgabe vorgegeben.

Es ist völlig egal, wie p aussieht. Die Eigenschaft p>0 reicht völlig.

Bestimme einfach mit der Funktionenfolge, die ich vorgegeben habe $\begin{eqnarray*} (pu')' = p'u'+pu'' \end{eqnarray*}$ und sieh dir das in 0 an.

28.11.2016, 21:19

Dakinho

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Achja, es muss ja eine beliebige stetig differenzierbare Funktion sein.
Ich steh mir auch oft selbst im Weg Finger1

Finger1

Aber ist $\begin{eqnarray*} (pu')' \end{eqnarray*}$ mit der folge oben nicht auch einfach 0 im Nullpunkt, oder habe ich mich jetzt verrechnet?

28.11.2016, 21:20

Guppi12

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Du hast dich verrechnet.

28.11.2016, 21:47

Dakinho

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Ok finde den Fehler zwar gerade nicht, aber dann wird es da wohl gegen $\begin{eqnarray*} \pm \infty \end{eqnarray*}$ gehen denke ich.

Vielen Dank für deine Hilfe Guppi smile

smile

28.11.2016, 21:50

Guppi12

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Du kannst deine Rechnung gerne hier posten, wenn du wissen willst, wo der Fehler liegt.

Man kann zur Vereinfachung mal $\begin{eqnarray*} f_n(x) = nx^2(1-x)^2 \end{eqnarray*}$ setzen. Dann hat man $\begin{eqnarray*} u_n = \sin\circ f_n \end{eqnarray*}$ . Somit erhält man $\begin{eqnarray*} u_n'(x) = f_n'(x)\cos(f_n(x)) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} u_n''(x) = f_n''(x)\cos(f_n(x))-f_n'(x)^2\sin(f_n(x)) \end{eqnarray*}$ .

Es folgt sofort $\begin{eqnarray*} u_n'(0) = 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} u_n''(0) = f_n''(0) \end{eqnarray*}$ . Damit kannst du jetzt sehr einfach ausrechnen, was $\begin{eqnarray*} p'u_n'+pu_n'' \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ für einen Wert annimmt.

28.11.2016, 22:10

Dakinho

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Ok, deine Rechnung ist um einiges einfacher als meine Big Laugh

Big Laugh

Also kommt man am Ende auf: $\begin{eqnarray*} 2np(0) \end{eqnarray*}$ , also muss es nicht beschränkt sein.

28.11.2016, 22:29

Guppi12

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Ja genau, dafür war $\begin{eqnarray*} p(0)>0 \end{eqnarray*}$ gut. Alles andere in der Aufgabe war mMn. reine Schikane.

28.11.2016, 22:44

Dakinho

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Die Aufgabe war echt mies..

Aber nochmal ein großes Dankeschön an dich Freude

Freude

smile

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