Folgenkonvergenz

24.11.2016, 23:34	benezoom	Auf diesen Beitrag antworten »
Folgenkonvergenz Meine Frage: Hallo Leute, ich überlege schon seit Stunden, wie ich doe Konvergenz der Folge sqrt(n)(n^(1/n)-1) beweise. Kann mir vielleicht jemand einen Tipp geben? Ich soll zeigen, dass sie gegen 0 konvergiert. Meine Ideen:* Meine Idee war es den binomischen Lehrsatz anzuwenden, da ich mir ja ein (1+x)^n zusammenbasteln kann. Aber damit kann ich ja nur nach unten abschätzen und in dem Fall muss ich ja nach oben abschätzen, um das Sandwichtheorem anzuwenden..
24.11.2016, 23:43	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, schreibe $\begin{eqnarray} \sqrt[n]{n} = (\sqrt[3]{n}\cdot\sqrt[3]{n}\cdot\sqrt[3]{n}\cdot\underbrace{1\cdot...\cdot 1}_{n-3})^{\frac 1n} \end{eqnarray}$ und verwende die Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel.
24.11.2016, 23:57	benezoom	Auf diesen Beitrag antworten »
Wow danke. Das geht ja echt flott. Da wär ich ja nicht draufgekommen... Weißt du, ob es auch einen Lösungsweg mit dem binom. Satz gibt oder bietet der sich hier eher nicht an?
25.11.2016, 00:06	benezoom	Auf diesen Beitrag antworten »
Wiederspruch und kann mir jemand sagen, was hieran falsch war? Darauf bin ich bei meinen Überlegungen unter anderem gestoßen.
25.11.2016, 00:08	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Doch, den binomischen Lehrsatz kannst du auch verwenden, ist aber etwas umständlicher. Man kann zeigen, dass $\begin{eqnarray} (n^{\frac 1n}-1)\leq \frac{1}{n^\alpha} \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} \alpha < 1 \end{eqnarray}$ , zumindest für $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ groß genug. Man kann sich dann ein $\begin{eqnarray} \alpha>\frac{1}{2} \end{eqnarray}$ aussuchen, um die Behauptung zu zeigen. Zum Beispiel $\begin{eqnarray} \alpha = \frac{3}{4} \end{eqnarray}$ . Das zeigt man dann durch die äquivalente Umformung $\begin{eqnarray} n \leq (1+\frac{1}{n^\alpha})^n \end{eqnarray}$ . Dies kann man zeigen, indem man den binomischen Lehrsatz verwendet und einen hinreichend weit hinten liegenden Summanden betrachtet (deswegen braucht man, dass $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ genügend groß gewählt werden darf). Zu deinem Bild: Bereits die erste Zeile ist falsch. Das, was rechts steht, ist für gerade n negativ, das was links steht, ist positiv. Um das näher zu analysieren, bin ich zu müde. Ich geh jetzt schlafen. Gute Nacht.
25.11.2016, 07:05	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Interessant ist die Frage, mit welcher "Geschwindigkeit" genau die Konvergenz von $\begin{align} \sqrt[n]{n}-1 \end{align}$ gegen Null erfolgt. Das kann man am Grenzwert $\begin{align} \lim_{n\to\infty} \frac{n}{\ln(n)}\left(\sqrt[n]{n}-1\right) = \lim_{n\to\infty} \frac{n}{\ln(n)}\left(e^{\frac{\ln(n)}{n}}-1\right) = \lim_{x\to 0} \frac{e^x-1}{x} = 1 \end{align}$ ablesen, d.h. für große $\begin{align} n \end{align}$ ist ungefähr $\begin{align} \sqrt[n]{n}-1 \approx \frac{\ln(n)}{n} \end{align}$ .
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