Gruppe mit Ordnung 637 ist abelsch |
| 25.11.2016, 13:01 | Bil8989 | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Gruppe mit Ordnung 637 ist abelsch Hallo! Die Aufgabe lautet zu zeigen, dass jede Gruppe der Ordnung 637 abelsch ist. Dazu habe ich schon gezeigt, dass die 7- und die 13- Sylowgruppe jeweils Anzahl 1 in G haben und somit Normalteiler sind. Damit konnte ich zeigen, dass G das innere direkte Produkt von der 7- und 13-Sylowgruppe ist. Jetzt soll ich darauf aufbauend zeigen, dass G abelsch ist. Meine Ideen: Mein Ansatz dafür war zuerst zu zeigen, dass G zyklisch ist und dann daraus zu folgern, dass G dann auch abelsch ist. Aber ich komme nicht weiter. Ich müsste ja zuerst zeigen, dass die 7-Sylowgruppe und die 13-Sylowgruppe zyklisch sind und das direkte Produkt der beiden dann wieder zyklisch ist. Ich finde aber keine passenden Sätze aus der Vorlesung. Deswegen ist meine Frage, ob dieser Ansatz überhaupt Sinn macht? Oder ob es noch andere Ansäzte gibt und wie die aussehen? Für Antworten bin ich danbar. 
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| 26.11.2016, 03:18 | RavenOnJ | Auf diesen Beitrag antworten » |
| RE: Gruppe mit Ordnung 637 ist abelsch Wenn die Gruppenordnung p prim ist, dann ist die Gruppe zyklisch. Dies muss so sein, da jedes Element ungleich dem neutralen selber die Ordnung p hat und ist damit erzeugendes Element der Gruppe. Es gibt einen Satz über p-Gruppen, dass sie abelsch sind, falls die Gruppenordnung ist und sie sind isomorph zu oder zu . Damit ist auch die 7-Sylowgruppe abelsch. |
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| 26.11.2016, 13:00 | Bil8989 | Auf diesen Beitrag antworten » |
| RE: Gruppe mit Ordnung 637 ist abelsch Erstmal danke für deine Antwort. Also geht das so: Die 7- und die 13-Sylowgruppe sind zyklisch, weil 7 und 13 prim sind. Das heißt G ist das innere direkte Produkt von zwei zyklischen Untergruppen. Da sie endlich sind, sind sie isomorph zu Z/nZ. Mit dem Hauptsatz über endlich erzeugte abelsche Gruppen folgt dann, dass G abelsch ist. (Der Hauptsatz sagt ja aus, dass jede endlich erzeugte abelsche Gruppe isomorph zum direkten Produkt von zyklischen Untergruppen ist). |
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| 26.11.2016, 13:30 | RavenOnJ | Auf diesen Beitrag antworten » |
| RE: Gruppe mit Ordnung 637 ist abelsch Ich habe nicht geschrieben, dass die 7-Sylowgruppe zyklisch ist, nur dass sie abelsch ist gemäß dem erwähnten Satz. Die 7-Sylowgruppe hat die Ordnung , was ja nicht prim ist. Sie kann zyklisch sein, also isomorph zu . Sie kann aber auch isomorph zum direkten Produkt der zyklischen Gruppe mit sich selbst sein, also . (Letztere kann nicht zyklisch sein, wie man sich leicht klar macht.) Du musst den Hauptsatz nur etwas weiter denken. Du hast ihn anscheinend zu eng gefasst. |
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