Helix

25.11.2016, 16:59

Helixoide

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Helix

Hi all together smile

smile

Ich habe die Helix c(t) = (a cos(t), a sin(t), b*t) gegeben.

Wie kann ich am besten zeigen, dass es eine Isometrie $\begin{eqnarray*} F_s : \mathbb R^3 \rightarrow \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ gibt, sodass $\begin{eqnarray*} F_s(c(t)) = c(t+s) \end{eqnarray*}$ ?

Ich verwende diese Eigenschaft für einen anderen Beweis, habe aber gesehen, dass wir sie in der Vorlesung nicht bewiesen haben, sondern lediglich behauptet.
Danke für jeden Input!

25.11.2016, 17:13

10001000Nick1

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Wie ist denn deine Isometrie $\begin{eqnarray*} F_s \end{eqnarray*}$ definiert? D.h. was bedeutet das $\begin{eqnarray*} s \end{eqnarray*}$ ?

25.11.2016, 17:20

Helixoide

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Ah entschuldige!
s ist ein Element von $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ .

25.11.2016, 17:22

10001000Nick1

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Das ist schon klar (weil du ja ja $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} s \end{eqnarray*}$ addieren willst).

Aber wie ist deine Isometrie $\begin{eqnarray*} F_s \end{eqnarray*}$ definiert?

25.11.2016, 17:30

Helixoide

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Völlig egal, wie sie genau ausschaut...ich verwende in meinem Beweis lediglich, dass "es eine Isometrie F_s gibt [...]"

Also müsste ich nur zeigen, dass es eine Isometrie gibt. Wie sie dann genau ausschaut, ist für meinen (und auch diesen) Beweis Nebensache.

Deswegen die dumme (und evtl. sogar triviale...) Frage: Wie kann ich zeigen, dass eine solche Isometrie existiert?

25.11.2016, 17:33

10001000Nick1

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Achso, jetzt verstehe ich die Frage. Du sollst zu jedem $\begin{eqnarray*} s\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ zeigen, dass eine Isometrie mit der oben angegebenen Eigenschaft existiert. Richtig?

Ist dir anschaulich klar, was passiert, wenn man $\begin{eqnarray*} c(t) \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} c(t+s) \end{eqnarray*}$ ersetzt?

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25.11.2016, 17:36

Helixoide

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Ja, anschaulich verändert man so einfach den Windungsabstand. Bzw. die "Steigung", wenn man dem so sagen kann / darf.

25.11.2016, 17:45

10001000Nick1

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Der Abstand der beiden Windungen bleibt derselbe. Die Parametrisierungen $\begin{eqnarray*} c:\mathbb R\to\mathbb R, c(t):=(a\cos(t), a\sin(t), bt) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} c_s: \mathbb R\to\mathbb R^3, c_s(t):= c(t+s) \end{eqnarray*}$ beschreiben dieselbe Helix (d.h. $\begin{eqnarray*} c(\mathbb R)=c_s(\mathbb R) \end{eqnarray*}$ ).

Nur ist $\begin{eqnarray*} c(t+s) \end{eqnarray*}$ auf dieser Helix ein anderer Punkt als $\begin{eqnarray*} c(t) \end{eqnarray*}$ (im Fall $\begin{eqnarray*} s\neq 0 \end{eqnarray*}$ ).

Es gilt doch $\begin{eqnarray*} c(t)=(a\cos(t), a\sin(t), bt) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} c_s(t)=(a\cos(t+s), a\sin(t+s), b(t+s)) \end{eqnarray*}$ .

Jetzt schau dir erstmal nur die $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ - und $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ -Koordinaten dieser beiden Punkte an; und denke daran, wie man einen Kreis in der Ebene parametrisieren kann. Fällt dir etwas auf?

25.11.2016, 23:20

Helixoide

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Ja man verschiebt einfach die beiden Koordinaten um genau gleich viel; also ändert sich im Grunde nicht viel.
Sprich: ein Kreis kann genau so parametrisiert werden (cos(t), sin(t)) --> falls statt t nun t+s steht, macht das keinen Unterschied: man verschiebt ja immer um s; bei cos und bei sin.

26.11.2016, 00:15

10001000Nick1

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Ja, die Punkte $\begin{eqnarray*} (a\cos(t), a\sin(t)) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (a\cos(t+s), a\sin(t+s)) \end{eqnarray*}$ liegen auf demselben Kreis. Genauer: Man kommt von dem ersten zum zweiten Punkt durch eine Drehung um den Winkel $\begin{eqnarray*} s \end{eqnarray*}$ um den Ursprung.

Jetzt nehmen wir wieder die dritte Koordinate mit dazu. Dann kommt man vom Punkt $\begin{eqnarray*} c(t)=(a\cos(t), a\sin(t), bt) \end{eqnarray*}$ zum Punkt $\begin{eqnarray*} (a\cos(t+s), a\sin(t+s), bt) \end{eqnarray*}$ durch eine Drehung um den Winkel $\begin{eqnarray*} s \end{eqnarray*}$ um die $\begin{eqnarray*} x_3 \end{eqnarray*}$ -Achse.
Und Drehungen sind Isometrien.

Jetzt musst du dir noch überlegen, wie man vom Punkt $\begin{eqnarray*} (a\cos(t+s), a\sin(t+s), bt) \end{eqnarray*}$ zum Punkt $\begin{eqnarray*} c_s(t)=(a\cos(t+s), a\sin(t+s), b(t+s)) \end{eqnarray*}$ kommt.

Damit kannst du dann die Abbildung $\begin{eqnarray*} F_s \end{eqnarray*}$ angeben.

26.11.2016, 14:44

Helixoide

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Vielen Dank für die guten Inputs! smile

smile

wie ich zum Schlusspunkt kommen könnte: denkst du da an Vektorprodukt? Jedenfalls muss ich an den x- und y-Werten nichts ändern, lediglich zum z-Wert bs addieren. Hast du das so gemeint? Falls ja, wüsste ich aber nicht, wie ich Fs dann angeben sollte...

26.11.2016, 19:02

10001000Nick1

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Mit dem Vektorprodukt hat das nichts zu tun.

Addition von $\begin{eqnarray*} bs \end{eqnarray*}$ zur $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ -Koordinate ist richtig. Man kann das auch als Translation um den Vektor $\begin{eqnarray*} (0,0,bs) \end{eqnarray*}$ schreiben.

Wir haben also zuerst eine Rotation und dann eine Translation gemacht. Die Hintereinanderausführung dieser beiden Abbildungen ist dann dein $\begin{eqnarray*} F_s \end{eqnarray*}$ .
(Die Funktionsgleichung der Rotation kannst du mit einer Rotationsmatrix aufschreiben.)

Und dann musst du noch zeigen, dass $\begin{eqnarray*} F_s \end{eqnarray*}$ wirklich eine Isometrie ist.

27.11.2016, 00:39

Helixoide

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Ah, ich hätte F_s nun so angegeben:

$\begin{eqnarray*} F_s = \begin{pmatrix} a cos(t+s) & a cos(t) & a cos(t) \\ a sin(t) & a sin(t+s) & a sin(t) \\ bt & bt & b(t+s) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wäre das nicht auch möglich?

27.11.2016, 12:38

10001000Nick1

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$\begin{eqnarray*} F_s \end{eqnarray*}$ ist im Allgemeinen keine lineare Abbildung, du kannst $\begin{eqnarray*} F_s \end{eqnarray*}$ also nicht durch eine Matrix beschreiben.

Fangen wir mal mit der Rotation an: Wie kannst du eine Drehung um die $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ -Achse um den Winkel $\begin{eqnarray*} s \end{eqnarray*}$ beschreiben? D.h. auf welchen Punkt wird ein beliebiges $\begin{eqnarray*} x\in\mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ abgebildet?

27.11.2016, 13:43

Helixoide

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Alleine die Rotation um die z-Achse um den Winkel s kann wie folgt beschrieben werden:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} cos(s) & -sin(s) & 0 \\ sin(s) & cos(s) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Bleib aber eben die Frage, wie ich das dann mit der Translation "verbinden" kann?

27.11.2016, 13:53

10001000Nick1

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Die Rotation ist also $\begin{eqnarray*} r: \mathbb R^3\to\mathbb R^3, r(x):= \begin{pmatrix} \cos(s) & -\sin(s) & 0 \\ \sin(s) & \cos(s) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\cdot x \end{eqnarray*}$ .

Zur Translation:
Oben hatte ich geschrieben:

Zitat:

Original von 10001000Nick1
Man kann das auch als Translation um den Vektor $\begin{eqnarray*} (0,0,bs) \end{eqnarray*}$ schreiben.

Und du hattest auch erkannt, dass man zur $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ -Komponente $\begin{eqnarray*} bs \end{eqnarray*}$ addieren muss. Hast du keine Idee, wie die Abbildungsvorschrift einer solchen Translation aussehen könnte? smile

smile

$\begin{eqnarray*} t: \mathbb R^3\to\mathbb R^3, t(x):=... \end{eqnarray*}$

27.11.2016, 14:18

Helixoide

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Intuitiv würde ich für die Translation nun sagen:
$\begin{eqnarray*} t(x) := \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & bs \end{pmatrix} \cdot x \end{eqnarray*}$

Allerdings frage ich mich, ob ich die anderen Matrixeinträge einfach = 0 setzen darf...

27.11.2016, 14:36

10001000Nick1

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Die Translation ist keine lineare Abbildung (schon allein deswegen, weil der Nullvektor nicht auf den Nullvektor abgebildet wird). Deswegen kannst du die Abbildung nicht durch eine Matrix beschreiben.

27.11.2016, 16:01

Helixoide

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Aber ich möchte ja nur die z-Achse verschieben, d.h. ich müsste doch eigentlich schon eine lineare Abbildung à la t(x) := x+s haben...

(Um meine dummen Fragen / Anmerkungen ein wenig zu erklären: Wir haben bisher Translationen noch nie konkret angegeben, lediglich gesagt, dass es sich um eine Verschiebung handelt.)

27.11.2016, 16:29

10001000Nick1

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Eine Verschiebung um $\begin{eqnarray*} (0,0,bs) \end{eqnarray*}$ bedeutet einfach Addition dieses Vektors zu $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ . Also $\begin{eqnarray*} t(x)=x+(0,0,bs) \end{eqnarray*}$ .

Noch eine Kleinigkeit: Wir arbeiten hier im Thread mit Zeilenvektoren. Deswegen müsste man die Rotation so schreiben:

$\begin{eqnarray*} \begin{aligned} r(x) &= \left(\begin{pmatrix} \cos(s) & -\sin(s) & 0 \\ \sin(s) & \cos(s) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\cdot x^T\right)^T \\ &= (x^T)^T\cdot \begin{pmatrix} \cos(s) & -\sin(s) & 0 \\ \sin(s) & \cos(s) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}^T \\ &= x\cdot \begin{pmatrix} \cos(s) & \sin(s) & 0 \\ -\sin(s) & \cos(s) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{aligned} \end{eqnarray*}$ .

Je nachdem, was ihr in der Vorlesung benutzt, musst du die passende Variante nehmen.

27.11.2016, 16:40

Helixoide

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Ahhh all right. Vielen Dank für die vielen guten Inputs!
Du hast mir sehr geholfen!

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