Mehrwertige Funktion - Notation

25.11.2016, 17:58

PHBU

Mehrwertige Funktion - Notation

Hallo Forumnutzer,

Möchte ich die Umkehrfunktion folgender Funktion bilden, so erhalte ich ja eigentlich eine Relation bzw. eine mehrwertige Funktion (Korrespondenz).
$\begin{eqnarray*} f:\mathbb{R}\to\mathbb{R},x\mapsto x^2\Rightarrow f^{-1}:\mathbb{R}\to\mathfrak{P}\left({\mathbb{R}}\right),x\mapsto\pm\sqrt{x} \end{eqnarray*}$
Ich glaube jedoch nicht, dass die Notation stimmt. Wie kann ich denn die Wurzelfunktion als Relation aufschreiben und wie ist die korrekte Schreibweise einer mehrwertigen Funktion?

Ich bedanke mich im Voraus!

Mit freundlichen Grüßen
PHBU

25.11.2016, 18:24

adiutor62

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RE: Mehrwertige Funktion - Notation
Du musst den Def.bereich einschränken. f(x) ist nur in R+ (Null eingeschlossen) umkehrbar.

25.11.2016, 19:22

PHBU

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RE: Mehrwertige Funktion - Notation
Hallo adiutor62,

Zitat:

Du musst den Def.bereich einschränken

Dann würde es funktionieren, klar.

Dann bleibt mir also nur die Relation übrig. Wie drücke ich aus, dass die "Umkehrrelation" von der Funktion f(x) gleich der positiven und negativen Wurzel von dem "Relationsargument" aus den reellen Zahlen ist?
Die Relation soll mir die "Relationswerte" -3 und 3 zurückgeben, wenn ich das "Relationsargument" 9 übergebe. Wie sieht die Notation dieser aus? In dieser muss man theoretisch ja auch sehen, welche Mengen eine Rolle spielen.

Die Funktion f(x) bildet von den reellen Zahlen in die reellen Zahlen ab. Eine Relation muss ja auch ähnlich notiert werden können...

Ich hoffe, ich habe mich einigermaßen verständlich ausgedrückt.

MfG
PHBU

25.11.2016, 21:47

PHBU

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Neue Notationsannahme
Hallo nochmal,

$\begin{eqnarray*} f:\mathbb{R}^{+}_{0}\to\mathfrak{P}\left({\mathbb{R}}\right),x\mapsto\left\{{-\sqrt{x}\,;\,\sqrt{x}}\right\} \end{eqnarray*}$
Bsp 1.: $\begin{eqnarray*} f\left({9}\right)=\left\{{-3\,;\,3}\right\} \end{eqnarray*}$
Bsp 2.: $\begin{eqnarray*} f\left({0}\right)=\left\{{0\,;\,0}\right\}\Leftrightarrow f\left({0}\right)=\left\{{0}\right\} \end{eqnarray*}$

Eine Funktion ist eine Relation zwischen mathematischen Objekten, also nicht nur Zahlen, bei der für jedes Funktionsargument mindestens ein Funktionswert existiert. Da die Menge der Funktionswerte die Potenzmenge der reellen Zahlen sind, bekomme ich auf jeden Fall ein Ergebnis.
Und die Menge des Funktionsargument ist auf die positiven, reellen Zahlen einschließlich 0 definiert.

Müsste doch eigentlich richtig sein, oder?

MfG
PHBU

26.11.2016, 02:37

Dopap

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ist mir bei Relationen im Reellen unbekannt, die werden in einer Menge definiert. Es wird nicht abgebildet. Die Relation ist eine Teilmenge der Grundmenge z.B.

$\begin{eqnarray*} A=\{(x,y) \in \mathbb R \times \mathbb R\,| \, y^3=x^2\} \end{eqnarray*}$

oder auch $\begin{eqnarray*} B=\{(x,y) \in \mathbb N \times \mathbb Z \,| \, x > y \} \end{eqnarray*}$

hier ist jeglicher Funktionsgedanke verschwunden. Eine Funktion ist eben definiert als eine linkstotale rechtseindeutige Relation.

Die Relation $\begin{eqnarray*} B=\{(x,y) \in \mathbb R_+ \times\mathbb R\,| \, y^2=x\} \end{eqnarray*}$

ist zwar linkstotal aber nicht rechtseindeutig , aber immerhin ungefähr dein Ding. Mit Relationspfeilen geschrieben gehören z.B.

$\begin{eqnarray*} 6.25 \leftrightarrow 2.5 \end{eqnarray*}$ und
$\begin{eqnarray*} 6.25 \leftrightarrow -2.5 \end{eqnarray*}$ zur Relation B

26.11.2016, 10:16

PHBU

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Relation
Hallo Dopap,

danke für die Anregungen.
Rechts in der Mengendefinition der Relation sind ja Bedingungen, die belieibig erweitert werden können.
Also müsste ja auch folgende Schreibweise stimmen:
$\begin{eqnarray*} f:\mathbb{R}\to\mathbb{R},x\mapsto x^2\Rightarrow R_{f^{-1}}=\left\{{\left({x\,;\,y}\right)\in\mathbb{R}_{0}^{+}\times\mathbb{R}}~\middle|~{y=-\sqrt{x}\lor y=\sqrt{x}}\right\} \end{eqnarray*}$
Ist dann folgende Schreibweise auch erlaubt, um zu erkennen, welche Relation benutzt wird?
$\begin{eqnarray*} 9\overset{R_{f^{-1}}}{\leftrightarrow}-3\land 9\overset{R_{f^{-1}}}{\leftrightarrow}3 \end{eqnarray*}$

Weiß nicht, ob folgende Schreibweise erlaubt ist, sähe aber schöner aus.
$\begin{eqnarray*} f:\mathbb{R}\to\mathbb{R},x\mapsto x^2\Rightarrow R_{f^{-1}}=\left\{{\left({x\,;\,Y}\right)\in\mathbb{R}_{0}^{+}\times{\left\{\mathbb{R}^2\right\}}}~\middle|~{Y=\left\{-\sqrt{x},\sqrt{x}\right\}}\right\} \end{eqnarray*}$
Jetzt bräuchte man theoretisch nur einen Relationspfeil für beide Ergebnisse schreiben, da ich ja eine Menge zurückbekomme.
$\begin{eqnarray*} 9\overset{R_{f^{-1}}}{\leftrightarrow}\left\{-3,3\right\} \end{eqnarray*}$

Mit freundlichen Grüßen und ein Danke für die Kooperation
PHBU

26.11.2016, 11:04

Dopap

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ich hab mir das nochmals angeschaut. Auf dein Beispiel bezogen und etwas runtergestutzt, könnte man schon sagen, dass die Relation

$\begin{align*} C= \{(x,y) \in \mathbb R_+ \times \mathbb R^2\, |\, x=y^2 \} \end{align*}$

linkstotal und rechtseindeutig => Funktion ist. Meiner bescheidenen Meinung nach.
Evtl. kann man das so noch trimmen, dass eine Umkehrfunktion angebbar ist.

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EDIT:
deine post kam mir jetzt zuvor, ich schau' mir das mal in Ruhe an Augenzwinkern

26.11.2016, 11:32

PHBU

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Versuch einer mathematischen Erklärung
Hallo Dopap,

ich hoffe, ich gehe hier keinen auf den Nerv mit meiner Korinthenkackerei... unglücklich

Ich versuche nochmal zu beweisen, dass folgende Funktion linkstotal und rechtseindeutig ist.

$\begin{eqnarray*} f:\mathbb{R}_{0}^{+}\to\mathfrak{P}\left({\mathbb{R}}\right),x\mapsto\left\{{-\sqrt{x}\,;\,\sqrt{x}}\right\} \end{eqnarray*}$
Die Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist linkstotal, da jeder x-Wert (eine Zahl größer gleich 0) mindestens einen y-Wert (eine Potenzmenge der reellen Zahlen) hat (Kurz: Ich kann aus jeder positiven reellen Zahl einschließlich 0 die Wurzel ziehen und bekomme eine Potenzmenge zurück).
Die Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist rechtseindeutig, da jeder y-Wert (Potenzmenge aus den reellen Zahlen) höchstens einen x-Wert hat. (Die Menge $\begin{eqnarray*} \left\{{-5\,;\,6}\right\} \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \left\{{-5\,;\,6\,;\,8}\right\} \end{eqnarray*}$ wird niemals zurückgegeben - die Menge $\begin{eqnarray*} \left\{{-5\,;\,5}\right\} \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \left\{{-\pi\,;\,\pi}\right\} \end{eqnarray*}$ schon).

Reicht das als Beweis, dass die Relation eine Funktion ist?

Ich bin mir deswegen unsicher, weil ich noch keine Funktion kenne, die mir eine Menge oder ein Tupel zurückgibt. Laut Definition können aber bei Funktionen nicht nur Zahlen, sondern allgemein mathematische Objekte relativiert werden. Ich kann also auch als Wertebereich eine Menge angeben, die Mengen enthält, da diese ein mathematisches Objekt ist.
Ist der Werteberiech definiert als die Menge der reellen Zahlen, so gibt es keine Lösung. Ist der Wertebereich definiert als Potenzmenge der Menge der reellen Zahlen, so kann mir die Funktion theoretisch einen Wert zurückgeben, weil jedes x (Funktionsargument) eindeutig zugeordnet wurde.

Mit freundlichen Grüßen
PHBU

26.11.2016, 12:26

Dopap

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RE: Relation
das mit der Korrespondenz war mir nicht bekannt, bin eben schon lange aus dem Geschäft raus.

Zitat:

Original von PHBU
Also müsste ja auch folgende Schreibweise stimmen:
$\begin{eqnarray*} f:\mathbb{R}\to\mathbb{R},x\mapsto x^2\Rightarrow R_{f^{-1}}=\left\{{\left({x\,;\,y}\right)\in\mathbb{R}_{0}^{+}\times\mathbb{R}}~\middle|~{y=-\sqrt{x}\lor y=\sqrt{x}}\right\} \end{eqnarray*}$

hier gefällt mir das $\begin{eqnarray*} f^{-1} \end{eqnarray*}$ nicht.

Zitat:

Ist dann folgende Schreibweise auch erlaubt, um zu erkennen, welche Relation benutzt wird?
$\begin{eqnarray*} 9\overset{R_{f^{-1}}}{\leftrightarrow}-3\land 9\overset{R_{f^{-1}}}{\leftrightarrow}3 \end{eqnarray*}$

der logische Operator $\begin{eqnarray*} \land \end{eqnarray*}$ ist hier fehl am Platze. Gemeint ist das schlichte "und" der Umgangssprache

Zitat:

Weiß nicht, ob folgende Schreibweise erlaubt ist, sähe aber schöner aus.
$\begin{eqnarray*} f:\mathbb{R}\to\mathbb{R},x\mapsto x^2\Rightarrow R_{f^{-1}}=\left\{{\left({x\,;\,Y}\right)\in\mathbb{R}_{0}^{+}\times{\left\{\mathbb{R}^2\right\}}}~\middle|~{Y=\left\{-\sqrt{x},\sqrt{x}\right\}}\right\} \end{eqnarray*}$

gefällt mir gut. Natürlich bis auf das $\begin{eqnarray*} f^{-1} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Jetzt bräuchte man theoretisch nur einen Relationspfeil für beide Ergebnisse schreiben, da ich ja eine Menge zurückbekomme.
$\begin{eqnarray*} 9\overset{R_{f^{-1}}}{\leftrightarrow}\left\{-3,3\right\} \end{eqnarray*}$

noch ist es die Relation R. Also wieder: $\begin{eqnarray*} f^{-1} \end{eqnarray*}$ ?

Wenn wir diese Relation als Funktion zulassen, dann könnte man auch die Zielmenge (Wertebereich) zur Wertemenge umformen. Wenn man dann f noch anders definiert, wäre auch $\begin{eqnarray*} f^{-1} \end{eqnarray*}$ "drin". imho

Wie ich deinem Latex und Sonstigem entnehme bist du doch fitter als ich auf dem Gebiet. Zur Not kannst du ja noch selber gewisse Schreibfiguren definieren Augenzwinkern

Mehr weiß ich nicht. Habe fertig

26.11.2016, 14:26

PHBU

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Einen Schritt näher
Hallo nochmal,

verstehe... verwirrt

Dann ist tatsächlich nur die Relation die Möglichkeit.

Dazu muss ich aber unbedingt wissen, wie man ein Argument an eine Relation übergeben kann.
Wenn ich die Relation $\begin{eqnarray*} R=\left\{{ (x\,;\,Y)\in\mathbb{R}_{0}^{+}\times{\left\{{ \mathbb{R}^2 }\right\}} }~\middle|~{ Y=\left\{{ -\sqrt{x}\,;\,\sqrt{x} }\right\} }\right\} \end{eqnarray*}$ habe, wie kann ich nun notieren, dass ich das Argument "9" an die Relation namens "R" übergebe?
$\begin{eqnarray*} R\left({ 9 }\right)=\left\{{ -3\,;\,3 }\right\} \end{eqnarray*}$ ist bestimmt falsch, da es sich hier nicht um eine Funktion handelt, oder? Oder wäre $\begin{eqnarray*} 9\overset{R}{\leftrightarrow}\left\{{ -3\,;\,3 }\right\} \end{eqnarray*}$ nun richtig? Irgendwie muss ich ja in einer Rechnung angeben können, dass ich ein Element einer Menge an eine vorher definierte Relation übergebe und ich einer Variable den Wert dieser Relation zuweisen kann...

Danke nochmal für die Mühe.

Mit freundlichen Grüßen
PHBU

26.11.2016, 17:38

Dopap

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RE: Einen Schritt näher
$\begin{eqnarray*} 9\overset{R}{\leftrightarrow}\left\{{ -3\,;\,3 }\right\} \end{eqnarray*}$

finde ich passend.

Aber natürlich auch $\begin{eqnarray*} (9\,;\{-3\,;3\})\in R \end{eqnarray*}$

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