Grenzwert mithilfe des Binomialsatzes bestimmen

25.11.2016, 19:11	Emely1998	Auf diesen Beitrag antworten »
Grenzwert mithilfe des Binomialsatzes bestimmen Meine Frage: Hallo, ich soll beweisen, dass $\begin{eqnarray} \frac{q^{n} }{n^{k} } \end{eqnarray}$ für n gegen Unendlich und q>1 und k Element der natürlichen Zahlen mit der Null gegen Unendlich geht. Als "Hilfestellung ist noch der Binomialsatz angegeben: $\begin{eqnarray} (1+x)^{n}= \sum\limits_{k=0}^{n} ~\binom n k x^{k} \geq ~\binom n j x^{j} \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Also normalerweise müsste ich ja für zum Beispiel Grenzwert gegen 1 zeigen, dass ein epsilon existiert. Muss ich dann für Unendlich zeigen, dass eben kein epsilon existiert? Und wenn ja wie zeige ich das? Vielen Dank im Voraus
25.11.2016, 19:30	Matt Eagle	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grenzwert mithilfe des Binomialsatzes bestimmen Setze $\begin{eqnarray} r:=q-1. \end{eqnarray}$ Lt Vor. ist dann $\begin{eqnarray} r>0 \end{eqnarray}$ und es gilt: $\begin{eqnarray} q^n=(1+r)^n=\sum_{j=0}^n{n\choose k}r^j. \end{eqnarray}$ Jetzt kannst Du der Hilfestellung folgen und zu beliebig vorgegebenem $\begin{eqnarray} k\in\mathbb N \end{eqnarray}$ einen geeigneten Summanden $\begin{eqnarray} {n\choose j}r^j \end{eqnarray}$ herauspicken und zeigen, dass $\begin{eqnarray} \frac 1{n^k}{n\choose j}r^j\longrightarrow \infty. \end{eqnarray}$
26.11.2016, 13:11	Emely1998	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grenzwert mithilfe des Binomialsatzes bestimmen Vielen Dank für die Antwort Ich verstehe jedoch noch nicht so ganz, wie ich von da auf Grenzwert gegen Unendlich kommen soll: Wenn ich jetzt zum Beispiel sag j = 0 und damit $\begin{eqnarray} \frac{1}{n^{k} } 1 * r \end{eqnarray*}$ ist, wie zeige ich dann, dass das gegen Unendlich geht oder geht dass dann nicht gegen null? Oder muss ich ein anderes j wählen?
26.11.2016, 18:12	Matt Eagle	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grenzwert mithilfe des Binomialsatzes bestimmen Du solltest $\begin{eqnarray} j \end{eqnarray}$ schon größer als $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ wählen, damit $\begin{eqnarray} {n \choose j} \end{eqnarray}$ gegen $\begin{eqnarray} \frac 1{n^k} \end{eqnarray}$ 'ankommt'.

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