Problem bei Intervallschachtelung

25.11.2016, 22:48	Emely1998	Auf diesen Beitrag antworten »
Problem bei Intervallschachtelung Meine Frage: Hallo, gegeben ist $\begin{eqnarray} a_{n} = (1+\frac{1}{n}) ^{n} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} b_{n} = (1+\frac{1}{n}) ^{n+1} \end{eqnarray}$ . Ich soll nun zeigen, dass $\begin{eqnarray} (I_{n}) _{n} mit (I_{n}) _{n} = [a_{n} ,b_{n} ] \end{eqnarray}$ eine Intervallschachtelung ist. Meine Ideen: Ich wollte genau nach der Definition der Intevallschachtelung vorgehen und erst mal zeigen, dass $\begin{eqnarray} I_{n+1} \subset I_{n} \end{eqnarray}$ . Um das zu beweisen, dachte ich, ich müsste zeigen, dass $\begin{eqnarray} a_{n} \leq a_{n+1} \end{eqnarray}$ . Das ist ja eigentlich logisch. Probleme habe ich zu zeigen, dass $\begin{eqnarray} b_{n}\geq b_{n+1} \end{eqnarray}$ gilt. Also: $\begin{eqnarray} (1+\frac{1}{n} )^{n+1} \geq (1+\frac{1}{n+1} )^{n+2} \end{eqnarray}$ Durch Umstellen erhalte ich irgendwann: $\begin{eqnarray} \frac{-n^{2}-n+1 }{n(n^{2}+3n+2)} \geq 0 \end{eqnarray}$ Und ich glaube das ist nicht größer als null. Deswegen meine Frage, stimmt der Ansatz überhaupt? Vielen Dank im Voraus
25.11.2016, 23:02	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Emely, der Ansatz ist ok, aber du warst wohl etwas unglücklich beim Umstellen und hast wohl auch ein paar Fehler gemacht. Fange so an: $\begin{eqnarray} \left(1+\frac{1}{n-1}\right)^n\geq \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1} \end{eqnarray}$ ist, nachdem man die Klammern jeweils auf einen Nenner gebracht hat und auf die linke Seite multipliziert hat, äquivalent zu $\begin{eqnarray} \left(\frac{n}{n-1}\right)^n\left(\frac{n}{n+1}\right)^{n+1} \geq 1 \end{eqnarray}$ . Links steht $\begin{eqnarray} \frac{n}{n+1}\left(\frac{n^2}{n^2-1}\right)^n = \frac{n}{n+1}\left(\frac{n^2-1}{n^2-1}+\frac{1}{n^2-1}\right)^n \end{eqnarray}$ . Das jetzt geschickt gegen $\begin{eqnarray} 1 \end{eqnarray}$ abschätzen.
26.11.2016, 09:14	Matt Eagle	Auf diesen Beitrag antworten »
Relativ elegant lässt sich das Ganze wie folgt abhandeln. Setze zunächst an mit: $\begin{eqnarray} \frac{a_n}{b_{n-1}}=\ldots=\left(1-\frac 1{n^2}\right)^n. \end{eqnarray}$ Mit Bernoulli kannst Du nun abschätzen und anschließend folgern, dass $\begin{eqnarray} a_n\geq a_{n-1}. \end{eqnarray}$ Analog kannst Du dann ansetzen mit: $\begin{eqnarray} \frac{b_{n-1}}{a_n}= \ldots \geq \left( 1+\frac 1n \right) \end{eqnarray}$ was abermals mittels Bernoullischer Ungleichung folgt. Direkte Konsequenz daraus ist dann $\begin{eqnarray} b_{n-1}\geq b_n. \end{eqnarray}$ Zusammen mit der offensichtlichen Ungleichung $\begin{eqnarray} a_n < b_n\text{ für alle }n\in\mathbb N \end{eqnarray}$ war's das dann schon.

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