Muss man die Induktionsannahme im Induktionsschritt verwenden?

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ihaveaquestion Auf diesen Beitrag antworten »
Muss man die Induktionsannahme im Induktionsschritt verwenden?
Meine Frage:
Ich bin sehr verwirrt da ich dazu schon direkt unterschiedliche Aussagen gehört habe. Außerdem bin ich mir dessen bewusst das hier schon so eine Frage existiert, dass ganze verwirrt mich bloß total. Einerseits wurde geschrieben der Beweis wäre ebenso gültig (was ich auch denke) und wo anders das wenn man ihn so hin bekommt, er einen Fehler enthält oder kein Beweis ist.

Meine Ideen:
Wie bereits oben geschrieben, denke ich ebenso das ohne die Implikation

A(n) => A(n+1) und A(0) und nur mit A(0) und A(n+1) der Beweis funktioniert, aber ich bin generell sehr verwirrt und unsicher diesbezüglich. Deshalb hoffe ich auf eine klare Antwort mit Begründung.
Vielen Dank! smile
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Muss man die Induktionsannahme im Induktionsschritt verwenden?
Zitat:
Original von ihaveaquestion
.. Muss man die Induktionsannahme im Induktionsschritt verwenden?
...

Selbstverständlich, denn gerade dies ist ja essentiell für den Beweis per Induktion.
Die Richtigkeit der Formel für kannst du ohnehin NICHT zeigen, wenn du deren Richtigkeit für (Induktionssannahme, Induktionsvoraussetzung) nicht voraussetzst.

mY+
 
 
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich sehe das anders.

Wir gehen von einer Aussageform für natürliche aus.
Ein Induktionsbeweis ist ein Beweis in dem man die Gültigkeit der Aussage zeigt und und danach zeigt, dass, falls gilt, stets auch gilt. In diesem Fall kann man schließen, dass für alle wahr ist.

Nun ist aber die Implikation stets wahr, wenn wahr ist, unabhängig davon, ob man die Aussage dafür verwendet hat. Formal ist es also durchaus auch dann ein Induktionsbeweis, wenn man die Induktionsannahme nicht verwendet.

Allerdings ist ein Induktionsbeweis in einem solchen Fall natürlich ein unnötiger Umweg, denn man hätte dann ja auch einfach direkt für alle zeigen können.
ihaveaquestion Auf diesen Beitrag antworten »

Hm, also ich kann doch ganz an sich schon zeigen das beispielsweise eine Gleichung für irgendwas mit n+1 gilt. Zeige ich per Hand das sie für ein n gilt, dann weiß ich auch sie gilt für n+1 oder nicht?
Achso, jetzt verstehe ich was Du meinst. Meinst Du wenn man die Aussage nicht für n beweisen kann, dann auch nicht für n+1 und nur mithilfe der IV letztendlich kann man sie zeigen?
Aber was wenn man den Beweis eben auch so hinbekommt, man hätte jetzt nicht direkt bewiesen und will es so machen.
ihaveaquestion Auf diesen Beitrag antworten »

@Guppi12

Genauso dachte ich auch am Anfang, jetzt verstehe ich es klar. Danke.
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

@Guppi
Ich kenne allerdings keinen anderen Weg für den Beweis per Induktion.
Offensichtlich ist dieser klassisch.
Mir ist im Prinzip zwar auch eingängig, was du geschrieben hast, es ist dann eben die Richtigkeit für n oder n+1 auf anderem Wege zeigen.

mY+
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Guppi12
Nun ist aber die Implikation stets wahr, wenn wahr ist, unabhängig davon, ob man die Aussage dafür verwendet hat. Formal ist es also durchaus auch dann ein Induktionsbeweis, wenn man die Induktionsannahme nicht verwendet.

Genau das sage ich auch immer hier im Forum, wenn wieder mal unsinnigerweise einfache direkt beweisbare Behauptungen wie etwa

für alle

durch Vollständige Induktion bewiesen werden sollen. Augenzwinkern
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Guppi12

Nun ist aber die Implikation stets wahr, wenn wahr ist, unabhängig davon, ob man die Aussage dafür verwendet hat. Formal ist es also durchaus auch dann ein Induktionsbeweis, wenn man die Induktionsannahme nicht verwendet.



So wie es du verwendest ist es eine Subjunktion . Schöner wäre eigentlich

zu schreiben.

Denn der wird nun leider auch für eine Folgerung verwendet, und bei der ist der Vor-satz oder Prämisse per se wahr.
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von HAL 9000
Zitat:
Original von Guppi12
Nun ist aber die Implikation stets wahr, wenn wahr ist, unabhängig davon, ob man die Aussage dafür verwendet hat. Formal ist es also durchaus auch dann ein Induktionsbeweis, wenn man die Induktionsannahme nicht verwendet.

Genau das sage ich auch immer hier im Forum, wenn wieder mal unsinnigerweise einfache direkt beweisbare Behauptungen wie etwa

für alle

durch Vollständige Induktion bewiesen werden sollen. Augenzwinkern


Aber oft ist es doch so, dass gerade das Verfahren "Induktion" verwendet werden soll, auch wenn es einen einfachen direkten Beweis gibt, sebst wenn Induktion komplizierter als ein direkter Beweis ist.
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