Länge der Logarithmusfunktion

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MathNoob28 Auf diesen Beitrag antworten »
Länge der Logarithmusfunktion
Hallo,
ich muss die Länge der Logarithmusfunktion berechnen. y= ln x ,

Dann habe ich die Parametrisierung c(t) = (t, ln t ) gewählt daraus folgt dann für die Länge:



mit

dann steht in der Aufgabe x = sinh t . Wie soll ich das dann machen?
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Dein Post ist ziemlich chaotisch. Das eine hat mit dem anderen nichts zu tun.
Werte zunächst das Integral der Wurzel aus (= rd. 1.222)

sinh(t) ist eine andere Geschichte, dazu müsstest du die Aufgabe vollständig und im Original posten, raten wollen wir nicht.

mY+
MathNoob28 Auf diesen Beitrag antworten »

Also hier die Originalaufgabe. Vielleicht kannst du mir sagen was ich falsch gemacht habe.
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Ach so, jetzt wird das klar, eine Parametrisierung soll nicht verwendet, sondern das Integral direkt mittels Substitution berechnet werden.

Dazu muss man etwas umformen,



Nun kann gliedweise integriert werden, das erste Integral ist einfach, beim zweiten wird substituiert,

mY+
MathNoob28 Auf diesen Beitrag antworten »

also ich erhalte dann für das erste Integral nach Substitution u= x^2 +1


Das 2. Integral nach der angegeben Substitution:



Substiution s= cosh t daraus ds= sinh t dt



mit gegebnen Werten folgt dann für 2. Integral arctanh (sqrt(5))- arctanh (sqrt(2)).

Kann das so sein Überhaupt?
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Das erste Integral stimmt.
Beim zweiten ist es zugegebenermaßen etwas kompliziert, kann auf die Schnelle stimmen.
Aber ich muss mir das noch ansehen, habe erst nach 15:00h wieder Zeit

Insgesamt soll sich für die Bogenlänge rd. 1.222 LE ergeben.
 
 
MathNoob28 Auf diesen Beitrag antworten »

d.h dass mein2. Integral wsl falsch ist. Wäre nett wenn du nochmal später drüberschaust
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Dein 2. Integral ist NICHT falsch, toll gerechnet!
Lediglich beim Einsetzen ist ein Fehler, es kommt nämlich



Zusammen mit den des 1. Integrals kommst du somit auf

SO muss Integral! Big Laugh

mY+
MathNoob28 Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank smile smile smile smile smile

Beim dem Bild das ich gepostet habe gibt es eine Teilaufgabe b)

Da erhalte ich für die Länge

Kann ich das einfach als normale Funktion betrachten und einfach integrieren oder muss ich etwas beachten weil ja phi ein Winkel ist?
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

phi ist zwar ein Winkel, aber er liegt im Bogenmaß vor und ist daher als normale Variable der Funktion zu betrachten.
Da die Funktion jedoch schon so schön in parametrisierter Form gegeben ist, verwende doch die dazu gehörende Formel:



Berechne dazu , setze ein und verwende die Grenzen

So kommst du bald zum Resultat.

mY+
MathNoob28 Auf diesen Beitrag antworten »

Kannst du mir erklären wie du auf dein Ergebnis kommst, also dein Ausdruck unter der Wurzel verwirrt verwirrt verwirrt verwirrt
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Welches? Ich habe ja keines angegeben!
----------
Steht bei --> https://de.wikipedia.org/wiki/L%C3%A4nge_(Mathematik)
MathNoob28 Auf diesen Beitrag antworten »

aso muss x' wäre doch dann cos (phi) -phi sin(phi)

und y'= sin(phi) + phi cos (phi)
MathNoob28 Auf diesen Beitrag antworten »

d.h dann muss ich erst 2 pi einstzten und 0 eingesetzt abziehen koordinatenweise?

Wieso darf man das einfach so machen?
MathNoob28 Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn ich das habe muss ich dann noch etwas integrieren?
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Noch nicht die Grenzen einsetzen, erst in die Wurzel damit und dies dann integrieren ...
----
Also, wenn du das machst, kriegst du genau das, was du vorhin schon geschrieben hast (ich wusste nicht, wie du dahin gekommen bist):

Zitat:
Original von MathNoob28
...
Da erhalte ich für die Länge
...


Und nun weiter mit normaler Integration ...
MathNoob28 Auf diesen Beitrag antworten »

aso sorry mein fehler unglücklich

Gibt es eine einfache Möglichkeit das zu integrieren?
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

So wie bei der ersten Aufgabe:

Subst.:

Somit integriere und die Grenzen und rechne in die entsprechenden t-Grenzen [arsinh(0) und arhsin(2)] um; arsinh ist ident

Es sollte rd. 21.256 herauskommen.

Übrigens, sh. auch dort: --> https://de.wikipedia.org/wiki/Archimedische_Spirale

mY+
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