Erzeugendensystem und Basis von Vektorräumen |
| 26.11.2016, 18:58 | Airbasti | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Erzeugendensystem und Basis von Vektorräumen Hey Leute, Ich habe folgende Vektoren gegeben: v1=(0,1,3),v2=(2,0,1) ,v3=(3,4,-2), v4=(0,0,1) v5=(2,-2,5) Die Aufgabe lautet wie folgt: Betrachten Sie die folgenden f¨unf Vektoren aus dem reellen Raum (a) Zeigen Sie, dass diese Vektoren ein Erzeugendensystem von R 3 bilden. (b) D¨unnen Sie die Menge dieser f¨unf Vektoren zu einer Basis aus Meine Ideen: So nun habe ich mir gedacht um zu beweisen dass es sich bei den 5 Vektoren um ein Erzeugendensystem handelt muss ich Nachweisen, dass sie linear unabhängig sind. Ich habe a*v1+b*v2+c*v3=0 gesetzt und dann immer a,b,c=0 herausbekommen. Das habe ich für alle gemacht. Daraus folgt ja, dass die Vektoren linear unabhängig sind und somit ein Erzeugendensystem bilden oder? Nun weiß ich nicht wie ich das Erzeugendensystem ausdünnen soll um an die Basis zu kommen. Vielen Dank im voraus 
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| 27.11.2016, 11:08 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Erzeugendensystem und Basis von Vektorräumen
Das ist falsch. Du mußt zeigen, daß sich jeder Vektor des R³ als Linearkombination aus den 5 Vektoren darstellen läßt.
Für welche "alle"? Jedenfalls sind 5 Vektoren des R³ immer linear abhängig. Insofern ist die Aussage, daß du "immer a,b,c=0 herausbekommst", falsch. |
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| 27.11.2016, 16:08 | Airbasti | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hey danke schonmal, aber wär cool wenn du mir auch noch einen Tipp zum Lösen der Aufgabe geben könntest! |
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| 28.11.2016, 09:13 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Erzeugendensystem und Basis von Vektorräumen Das habe ich eigentlich schon gemacht:
Da gibt es diverse Methoden: 1. Zeige, daß das Gleichungssystem a * v1 + b * v2 + c * v3 + d * v4 + e * v5 = (x,y,z) immer lösbar ist. 2. Schreibe die Vektoren v1, ..., v5 zeilenweise in eine Matrix und bringe diese auf Zeilenstufenform. Erhältst du drei Nicht-Null-Zeilen, so bilden die entsprechenden Vektoren eine Basis und damit auch ein Erzeugendensystem des R³. Nebenbei ist damit auch Aufgabe b erledigt.
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