Basis im R^5

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26.11.2016, 19:15	Thegreen91	Auf diesen Beitrag antworten »
Basis im R^5 Meine Frage: Gegeben seien im R^5 die Vektoren x1-x5 $\begin{eqnarray} <br /> \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 4 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 9 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ -8 \\ 2 \\ -4 \end{pmatrix} <br /> \end{eqnarray}$ Wählen Sie alle Teilfamilien (xj)j=1,...,5 aus, die eine Basis von U:= spanR(xj)j=1,..,5 bilden und kombinieren Sie jeweils x1,...,x5 daraus linear. Meine Ideen: Also wenn ich die Aufgabe richtig verstanden habe, soll ich aus den 5 gegebenen Vektoren jene raussuchen mit denen sich eine Basis für U:= span(...) ergibt. ich dachte mir ich schau erstmal welche der xj untereinander linear abhängig sind. und kam am ende auf die Basis $\begin{eqnarray} <br /> \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 4 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} <br /> \end{eqnarray}$ Latex korrigiert. Guppi12
26.11.2016, 19:41	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, und nun musst Du nur noch aufschreiben: $\begin{eqnarray} x_1=...,x_2=..., x_3=..., x_4=..., x_5=... \end{eqnarray}$ , wobei rechts jeweils nur Linearkombinationen von $\begin{eqnarray} x_1, x_2, x_4 \end{eqnarray}$ auftreten . Ach ja, das ist nur eine Basis von U. Du sollst aber alle Basen von U aufschreiben. Und dazu alle Linearkombinationen. Also doch ein bißchen mehr Arbeit.
26.11.2016, 22:56	creepyjoy	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Basis im R^5 hab grad meine zugangsadaten gefunden also ich hab nachdem ich dachte ich sei fertig..gesehen ich habe mich nahezu am anfang verrechnet. ich muss jetzt aber mal fragen, es muss doch eine einfachere variante geben als meine.. ich habe über 12 seiten nur zu der aufgabe. ich habe zuerst geschaut ob x1 sich als Lk von (x2,x3,x4,x5) darstellen lässt. also x1= ax2 + bx3 ..usw dann x2= Lk von (x1,x3,x4,x5) x3= Lk von ( x1,x2,x4,x5) x4... x5... immer das gleiche eben. kam dann daraus das x4 der einzige lin unabhängige ist. Dann habe ich das gleiche Spiel wieder emacht nur einen vektor weg gelassen ala x1= Lk von (x2,x3,x4) x1=Lk von ( x2,x3,x5).... usw, dann das gleiche mit den restlichen xj, aber ich denke meine herangehensweise ist ungünstig.
26.11.2016, 23:00	creepyjoy	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Basis im R^5 gehe ich richtig in der annahme, dass der anfang richtig war zuerst schauen welcher der 5vektoren lin unabhängig gegenüber den anderen 4 ist? theoretisch würde ich jetzt vllt genau diesen lin unabh. weglassen vorerst und nochmal die restlichen 4 betrachten und wieder jenen raussuchen der lin unabh. ist? -> glaube nicht das das richtig ist ich meine der lin unabh. muss ja aufjedenfall teil meiner Basis sein.
27.11.2016, 00:23	creepyjoy	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Basis im R^5 ich habe jetzt mal den Rang der Matrix bestimmt, bestehen aus den x1,x2,x3,x4,x5. und kam dann auf $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 4 & 0 & 4 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 3 & 1 & -2 \\ 1 & 4 & 9 & 1 & -8 \\ 0 & -1 & -2 & 1 & 2 \\ -2 & 2 & 2 &1 & -4 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ 5 umformungen späer hatte ich dann $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 4 & 0 & 4 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & -2 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 7 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ heißt ja dann der Rang =3 somit wäre auch die Anzahl der Vektoren in der Basis = 3 darüberhinaus weiss ich ja schon das x4= $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ teil der basis sein muss... und jetzt würde ich die übrigen 6 Kombinationen einfach durch probieren für welche der möglichen kombinationen ich jeden der xj bilden kann ?!
27.11.2016, 22:17	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Dimension von U ist 3. Jede Basis von U muss also genau 3 Vektoren enthalten. Es gibt 5 über 3 = 10 Möglichkeiten, 3 aus 5 Vektoren auszuwählen. Wegen x5=-2x2 kann immer nur einer der beiden in der Basis sein, was die Anzahl der Basen weiter reduziert. Für diese Basen jeweils alle 5 Vektoren darstellen (trivial für die Basisvektoren !), fertig.
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27.11.2016, 22:57	creepyjoy	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja danke, ich habe jetzt insgesamt 5 verschiedene Basen. bin fertig konnte alles lösen. war ne menge schreibarbeit ^^
28.11.2016, 08:09	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Wieso 5 Basen? Wenn ich aus den 10 Möglichkeiten die 3 herausnehme, die x2 und x5 enthalten, bleiben 7 übrig.
28.11.2016, 23:27	creepyjoy	Auf diesen Beitrag antworten »
nun, da x4 ja generell lin unabh ist- muss x4 bestandteil der basis sein. das zu wissen muss ich nur noch alle möglichen 2er paare bestehen aus x1,x2,x3,x5 raussuchen. die da sind.: x1,x2 x1,x3 x1,x5 x2,x3 x2,x5 x3,x5 und x2,x5 entällt macht bei mir 5 möglichkeiten oder habe ich da jetzt einen denkfehler ?
29.11.2016, 08:27	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Jeder Vektor ausser dem Nullvektor ist linear unabhängig. x4 macht da keine Ausnahme.
04.12.2016, 23:27	creepyjoy	Auf diesen Beitrag antworten »
nun war vllt etwas blöd ausgedrückt, ich meinte das ich x4 aus keinen der anderen xj bilden kann. wobei x2 und x5 linear abhängig zueinander sind. das heisst schonmal das x2 und x5 nicht teil der basis sein können. x4 ist der einzige der 5 gegebenen vektoren der sich nicht aus den x1,x2,x3,x5 als LK dastellen lässt.

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