Konvergenz der Folge an+1=sqrt(2+an)

26.11.2016, 20:24	kalle95	Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenz der Folge an+1=sqrt(2+an) Meine Frage: Hallo. Ich komme bei einer Übungsaufgabe nicht weiter und wäre für jede Hilfe dankbar. Aufgabe: Sei eine Folge $\begin{eqnarray} (an) \end{eqnarray}$ gegeben durch $\begin{eqnarray} 0<a1 \in \mathbb R \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} an+1=\sqrt{2+an} \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} n\geq 1 \end{eqnarray}$ . Untersuchen Sie diese auf Konvergenz und bestimmen Sie gegebenfalls den Grenzwert. Hinweis: Falls die Folge konvergiert, dürfen Sie ohne Beweis verwenden dass $\begin{eqnarray} a:= \lim_{n \to \infty} an = \lim_{n \to \infty} an+1 = \lim_{n \to \infty}\sqrt{2+an} = \sqrt{2+a} \end{eqnarray}$ Ich weiß nicht wie ich die Folge auf Konvergenz untersuchen kann. Meine Ideen: Angenommen der Grenzwert existiert, was ja eigentlich erst untersucht werden soll, so habe ich folgenden Grenzwert a mithilfe des Hinweises ausgerechnet: $\begin{eqnarray} <br /> a = \sqrt{2+a}<br /> a² = 2 + a<br /> a = 2<br /> \end{eqnarray}$ Stimmt das zumindest? Da $\begin{eqnarray} a1>0 \end{eqnarray}$ ist kann man davon ausgehen dass $\begin{eqnarray} a>\sqrt{2} \end{eqnarray}$ ist, richtig? Angenommen es sei so, bringt mir das dann überhaupt etwas? Wie gesagt ich stehe ziemlich auf dem Schlauch und wäre über jede Hilfe sehr dankbar.
26.11.2016, 20:33	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenz kannst du zeigen, indem du Beschränktheit und Monotonie zeigst (z.B. mit vollständiger Induktion).
26.11.2016, 23:08	Kalle95	Auf diesen Beitrag antworten »
Hey erstmal danke für den schnellen Tipp Wie macht man denn eine vollständige Induktion, wenn man den Anfangswert nicht genau weiß? Gegeben ist ja dass $\begin{eqnarray} a1 > 0 \end{eqnarray}$ , das bedeutet ja aber dass a1 als Element der Reellen Zahlen jede Zahl zwischen 0 und 2 (falls meine Schlussfolgerung $\begin{eqnarray} a=2 \end{eqnarray}$ richtig ist) sein kann.
26.11.2016, 23:20	Matt Eagle	Auf diesen Beitrag antworten »
Du könntest 3 Fälle betrachten. 1. $\begin{eqnarray} 0<a_1<2 \end{eqnarray}$ 2. $\begin{eqnarray} a_1=2 \end{eqnarray}$ 3. $\begin{eqnarray} a_1>2 \end{eqnarray}$ Fall 2. ist trivial. In Fall 1. ist die Folge monoton wachsend mit oberer Schranke 2. In Fall 3. ist die Folge monoton fallend mit unterer Schranke 2. In den nicht-trivialen Fällen zeigst Du am besten zunächst die Beschränktheit und nutzt diese dann um jeweils die Monotonie zu folgern. Das geht alles mit nahezu trivialen Induktionsbeweisen.

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