Partialbruchzerlegung

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26.11.2016, 21:47	Thon	Auf diesen Beitrag antworten »
Partialbruchzerlegung Bestimmen Sie die maximalen Definitionsbereiche der folgenden rationalen Funktionen sowie deren Partialbruchzerlegungen im Reelen und im Komplexen: $\begin{align} f(x)= \frac{-2x^2-10x-12}{x^2+6x+13} \end{align}$ $\begin{align} g(x)=\frac{x+2}{(x-1)^2} \end{align}$ $\begin{align} h(x)=\frac{3x^3+4x^2-28x}{(x^2-4)^2} \end{align}$ Idee: zu f(x) $\begin{align} D_f=\mathbb{C} \backslash \{-3-2i,-3+2i\} \end{align}$ Weiß nicht wie ich das zerlegen soll. Bitte um Denkanstöße. Danke
26.11.2016, 22:14	Equester	Auf diesen Beitrag antworten »
Dein Definitionsbereich ist soweit richtig. Somit auch D = R. Zur eigentlichen Partialbruchzerlegung schau mal hier rein: [WS] Partialbruchzerlegung Das hilft dir bereits weiter? (Bin ne Stunde weg oder so, dann stehe ich wieder zur Verfügung, falls du noch hängen solltest oder niemand anderes einspringt)
26.11.2016, 23:17	Thon	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{align} f(x)= \frac{-2x^2-10x-12}{x^2+6x+13}=\frac{-2x^2-10x-12}{(x-(3-2i))(x-(-3+2i))}= \end{align}$ Sei nun $\begin{align} p(x)=-2x^2-10x-12 \end{align}$ und $\begin{align} q(x)=x^2+6x+13 \end{align}$ $\begin{align} \text{Grad} \ \ p(x) = \text{Grad} \ \ q(x) \end{align}$ $\begin{align} (-2x^2-10x-12) : (x^2+6x+13)=-2 + \frac{2x+14}{x^2+6x+13} \end{align}$ $\begin{align} x^2+6x+13=(x-(3-2i))(x-(-3+2i)) \end{align}$ $\begin{align} f(x)= \frac{2x+14}{(x-(3-2i))(x-(-3+2i))} = \frac{A}{(x-(-3+2i))}+ \frac{B}{(x-(3-2i))} \end{align}$ Stimmt es bis hierher? :3
26.11.2016, 23:38	Equester	Auf diesen Beitrag antworten »
Sehr gut, du hast erkannt, dass die Grade des Nenners und Zählers identisch sind. Dann Polynomdivision durchführen, wie du es getan hast. Du bist damit fertig. Der eigentliche Ansatz, kannst du aus meinem Link entnehmen. Linearfaktoren kommen hier nicht zum Einsatz .
27.11.2016, 11:16	Thon	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn ich das richtig verstanden, lautet der Ansatz: $\begin{align} -2 + \frac{2x+14}{x^2+6x+13}= -2+\frac{A \cdot x +B}{x^2+6x+13} \Rightarrow A=2 \ \ \ B=14 \end{align}$ $\begin{align} -2 + \frac{2x+14}{x^2+6x+13}= -2+\frac{A \cdot x +B}{x^2+6x+13} \end{align}$ Aber irgendwie ist das so doppelt gemoppelt. Ist das so richtig?
27.11.2016, 11:51	Equester	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie gesagt, im ersten Beispiel bist du mit der Polynomdivision schon fertig . Kümmere dich nun um den Rest.
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27.11.2016, 12:56	Thon	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{align} g(x)=\frac{x+2}{(x-1)^2} \end{align}$ $\begin{align} g(x)=\frac{x+2}{(x-1)^2} = \frac{A}{(x-1)} +\frac{B}{(x-1)^2} + \frac{C}{x+1} + \frac{D}{(x+1)^2} \end{align}$ $\begin{align} x=0;x=2;x=3;x=4 \end{align}$ $\begin{align} 2 = -A+B+C+D \end{align}$ $\begin{align} 4 = A +B+\frac{C}{3}+\frac{D}{9} \end{align}$ $\begin{align} \frac{5}{4}=\frac{A}{2}+\frac{B}{4}+\frac{C}{4}+\frac{D}{16} \end{align}$ $\begin{align} \frac{6}{9}=\frac{A}{3}+\frac{B}{9}+\frac{C}{5}+\frac{D}{26} \end{align}$ Ist das der richtige Ansatz?
27.11.2016, 13:31	Thon	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein sorry, das ist falsch. $\begin{align} g(x)=\frac{x+2}{(x-1)^2} \end{align}$ $\begin{align} g(x)=\frac{x+2}{(x-1)^2} = \frac{A}{(x-1)} +\frac{B}{(x-1)^2}=\frac{x+2}{(x-1)^2} = \frac{A \cdot (x-1)}{(x-1) \cdot (x-1)} +\frac{B}{(x-1)^2}= \frac{Ax-A+B}{(x-1)^2} \end{align}$ $\begin{align} A= 1 \ \ \ -1+B=2 \Rightarrow B=3 \end{align}$ So jetzt müsste es stimmen.
27.11.2016, 19:58	Equester	Auf diesen Beitrag antworten »
Yap sehr schön. Das passt so .
27.11.2016, 19:59	Thon	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe mal eine Frage zur Aufgabenstellung Da steht ja "sowie deren Partialbruchzerlegungen im Reelen und im Komplexen:" Heißt dass ich jede Funktion zwei Mal zerlegen muss?
27.11.2016, 20:44	Equester	Auf diesen Beitrag antworten »
Nene . Keine Sorge. Aber erstered war ja komplex. Darauf bezog sich das.
27.11.2016, 20:47	Thon	Auf diesen Beitrag antworten »
Die dritte Funktion habe ich berechnet Da habe ich die Methode mit dem Koeffizientenvergleich benutzt. Und das hat echt lange gedauert Kann ich die Grenzwertmethode oder die Zuhaltemethode bei der dritten Funktion benutzen?
27.11.2016, 20:57	Equester	Auf diesen Beitrag antworten »
Leider nur für die linearen Teile . Erspart dir aber einiges an Arbeit.
27.11.2016, 20:59	Thon	Auf diesen Beitrag antworten »
Verstehe Oki Danke sehr Vielen dank für deine Hilfe
27.11.2016, 21:05	Equester	Auf diesen Beitrag antworten »
No problem at all .

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