Stetigkeit von linearen Operatoren

27.11.2016, 10:11

Yuhe

Stetigkeit von linearen Operatoren

Meine Frage:
Ich habe Probleme mit der folgenden Aufgabe:

Sei $\begin{eqnarray*} (a_{ij})_{ij} \end{eqnarray*}$ eine unendliche Matrix, $\begin{eqnarray*} x=(x_k) \in l^p \end{eqnarray*}$ und für alle $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ > konvergiert die Folge $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{\infty} a_{nk} x_k \end{eqnarray*}$ in F.

n und N seien fix,
zeige, dass die lineare Abbildungen $\begin{eqnarray*} A,B: l^p -> F \end{eqnarray*}$ definiert durch:

$\begin{eqnarray*} A(x) = \sum\limits_{k=1}^{N} a_{nk} x_k \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} B(x) = \sum\limits_{k=1}^{\infty} a_{nk} x_k \end{eqnarray*}$

stetig sind.

Meine Ideen:
Meines Wissens ist ein linearer Operator stetig wenn gilt:
es existiert ein $\begin{eqnarray*} c \geq 0 \end{eqnarray*}$ so dass $\begin{eqnarray*} |A(x)| \leq c ||x||_p \end{eqnarray*}$

wie zeige ich das hier? oder muss ich ganz anders vorgehen?

27.11.2016, 12:40

Guppi12

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Hallo Yuhe,

hast du es für $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ mal mit der Hölderschen Ungleichung probiert? Da $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ der punktweise Grenzwert der Operatoren $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ ist für $\begin{eqnarray*} N\to\infty \end{eqnarray*}$ , muss dann auch $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ stetig sein (Folgerung aus Banach-Steinhaus).

Wozu ist eigentlich überhaupt die Matrix da? Das ganze hängt doch überhaupt nicht von dem $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ ab.

27.11.2016, 13:33

Yuhe

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Hey!

Jaa, dass erste habe ich mitleerweile auch geschafft! JUHU smile

Leider haben wir diesen satz in der vorlesung noch nicht gemacht.. hab ihn gerade gegoogled, aber weiß leider nicht ganz wie ich den anwenden sollte? unglücklich

27.11.2016, 13:35

Yuhe

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Was meinst du mit, wozu die Matrix nötig ist? Die Werte $\begin{eqnarray*} a_{nk} \end{eqnarray*}$ kommen aus dieser matrix. smile

27.11.2016, 13:39

Guppi12

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Zitat:

Was meinst du mit, wozu die Matrix nötig ist? Die Werte $\begin{eqnarray*} a_nk \end{eqnarray*}$ kommen aus dieser matrix. smile

Ja, aber warum nicht einfach eine Folge $\begin{eqnarray*} a_k \end{eqnarray*}$ nennen? Das $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ ist hier völlig egal.
Daher wäre es vielleicht auch ganz gut, wenn du die Aufgabe nochmal im Originalwortlaut widergibst, vielleicht hast du etwas übersehen.

Zitat:

hab ihn gerade gegoogled, aber weiß leider nicht ganz wie ich den anwenden sollte? unglücklich

Naja, wenn du ihn noch nicht gemacht hast, kannst du ihn ja auch nicht verwenden. Ich wüsste da ein work-around, aber das ist eigentlich ein bisschen geschummelt Augenzwinkern

Setze $\begin{eqnarray*} A_N \end{eqnarray*}$ als den Operator $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ für fixiertes $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} C_n := \{x\in l^p~\vert~ |A_N(x)| \leq n~\text{für alle $N\in\mathbb N$}\} \end{eqnarray*}$ .

Weil die Folge $\begin{eqnarray*} A_N(x) \end{eqnarray*}$ für festes $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ konvergiert, muss $\begin{eqnarray*} l^p = \bigcup_{n\in\mathbb N}C_n \end{eqnarray*}$ gelten. Weil $\begin{eqnarray*} A_N \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} N\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ stetig ist, muss $\begin{eqnarray*} C_n \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ abgeschlossen sein. Jetzt verwende den Satz von Baire.

27.11.2016, 13:46

Yuhe

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Hmm.. also das ist meine Angabe, sie ist auf Englisch, aber ich hoffe das macht nichts..
Let $\begin{eqnarray*} A=(a_{ij})_{i,j=1}^\infty \end{eqnarray*}$ be the matrix such that for all $\begin{eqnarray*} x=(x_n)\in l_p \end{eqnarray*}$ and all $\begin{eqnarray*} k\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ the series $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty a_{kn}x_n \end{eqnarray*}$ converges in $\begin{eqnarray*} \mathbb{F} \end{eqnarray*}$ . We assume that the sequence $\begin{eqnarray*} Ax=(Ax)_k=\sum_{n=1}^\infty a_{kn}x_n \end{eqnarray*}$ is an element of $\begin{eqnarray*} l_p \end{eqnarray*}$ . Thus $\begin{eqnarray*} A:l_p\rightarrow l_p \end{eqnarray*}$ is a linear map.

Now fix $\begin{eqnarray*} k,N\geq 1 \end{eqnarray*}$ . We define $\begin{eqnarray*} A_k^N:l_p\rightarrow \mathbb{F} \end{eqnarray*}$ and $\begin{eqnarray*} A_k:l_p\rightarrow \mathbb{F} \end{eqnarray*}$ by
$\begin{eqnarray*} A_k^Nx=\sum_{n=1}^N a_{kn}x_n \end{eqnarray*}$
and $\begin{eqnarray*} A_ka=\sum_{n=1}^\infty a_{kn}x_n. \end{eqnarray*}$

Now I have the following questions:

1. Show that $\begin{eqnarray*} A_k^N \end{eqnarray*}$ is continuous.

2. Show that $\begin{eqnarray*} A_k \end{eqnarray*}$ is continuous?

3. Show that $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ is continuous?

Siehst du etwas hilfreiches, was ich vergessen habe?

27.11.2016, 13:50

Guppi12

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Nein, da ist tatsächlich nicht mehr dabei, als du aufgeschrieben hast.
Dann musst du wohl den Ansatz verwenden, den ich oben gegeben habe.

27.11.2016, 14:01

Yuhe

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ahh ich hab in meinem buch gefunden, dass wir das Prinzip der gleichmäigen stetigkeit doch gemacht haben. Das hab ich wohl verpasst! Naja jetzt weiß ichs smile

Mir ist aber nicht ganz klar, wie ich das genau anwenden muss?

27.11.2016, 14:06

Guppi12

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Oh man, sorry, aber ich hätte schon erwartet, dass du mal in deinem Buch nachschaust, bevor du verkündest, das sei nicht behandelt worden unglücklich

Aus dem Prinzip der gleichmäßigen Beschränktheit folgt, dass punktweise Limiten stetiger Funktionale wieder stetig sind, das steht mit Sicherheit als Korollar irgendwo dahinter. Da $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ Limes der $\begin{eqnarray*} A_N \end{eqnarray*}$ ist, folgt das damit sofort.

27.11.2016, 14:15

Yuhe

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Ich hätte eigentlich eh nachgeschaut.. aber es hatte einen anderen namen unglücklich

Aber vielen dank, dass ist ja dann echt einfach!

Könntest du mir mit teil 3 vielleicht auch noch helfen?

27.11.2016, 14:32

Guppi12

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Das ist wieder das gleiche Argument.

Wenn $\begin{eqnarray*} B_N:l^p\to l^p, x\mapsto \sum_{k=1}^N(A_kx)e_k \end{eqnarray*}$ gesetzt wird, dann folgt aus Teil 2, dass alle $\begin{eqnarray*} B_N \end{eqnarray*}$ stetig sind. $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ ist punktweiser Grenzwert dieser Operatoren. Dabei ist $\begin{eqnarray*} e_k \end{eqnarray*}$ der $\begin{eqnarray*} k. \end{eqnarray*}$ Einheitsvektor in $\begin{eqnarray*} l^p \end{eqnarray*}$ .

27.11.2016, 15:07

Yuhe

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Danke, danke!!

27.11.2016, 15:11

Guppi12

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Gerne.
Mal aus Interesse, wie habt ihr denn den Satz von Banach-Steinhaus bei euch genannt?

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