Gram-Schmidt mit Funktionen |
27.11.2016, 13:05 | leodavinci | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Gram-Schmidt mit Funktionen [attach]43094[/attach] Meine Ideen: Bisher habe ich das Gram-Schmidt Verfahren nur mit Vektoren im und dem "Standard-Skalarprodukt" durchgeführt. Meine Idee hierzu: Ist dieser Ansatz richtig? Und wenn ja, wie berechne ich die Norm von dem letzten Ausdruck? |
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27.11.2016, 13:43 | 10001000Nick1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Gram-Schmidt mit Funktionen
Das stimmt schonmal nicht. Mit ist hier nicht die reelle Zahl 1 gemeint, sondern die konstante Einsfunktion, d.h. . Demzufolge ist nicht der reelle Betrag, sondern die Norm, die durch das Skalarprodukt induziert wird: . Und dann ist . |
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27.11.2016, 14:17 | leodavinci | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Gram-Schmidt mit Funktionen Oh natürlich! Die Norm wäre dann nach der Definition des Skalarprodukt Also wäre Somit: Muss ich jetzt aber die Norm so berechnen |
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27.11.2016, 14:51 | 10001000Nick1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Dein stimmt nicht. (Es erfüllt z.B. nicht die Bedingung .) Irgendwo hast du dich da verrechnet. |
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27.11.2016, 15:24 | leodavinci | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Gram-Schmidt mit Funktionen Habe jetzt nochmal gerechnet: Ich habe jetzt folgendes raus: Der dritte Schritt war hierbei: Ist das korrekt? |
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27.11.2016, 16:11 | 10001000Nick1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ohje, ich habe oben eine Wurzel vergessen. Es muss heißen: . Sorry. Deine Ergebnisse wären richtig, wenn man die Wurzel weglässt (wobei man dann gar keine Norm mehr hätte). Es sollte folgendes rauskommen: |
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27.11.2016, 17:10 | leodavinci | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Gram-Schmidt mit Funktionen Ok vielen Dank! Wie ist denn die Herangehensweise bei Teilaufgabe b)? |
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27.11.2016, 17:18 | 10001000Nick1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Habt ihr in der Vorlesung schon besprochen, was eine Bestapproximation ist, und wie man die berechnet? Das sollst du hier anwenden. |
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27.11.2016, 21:15 | leodavinci | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Gram-Schmidt mit Funktionen Wir haben einmal die Bestapprox. durch Fouriersummen durchgenommen. Muss ich das hier anwenden? |
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27.11.2016, 21:29 | 10001000Nick1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja. |
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27.11.2016, 21:45 | leodavinci | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Gram-Schmidt mit Funktionen Wir haben dazu folgendes aufgeschrieben: Die Bestapprox. ist gegeben durch mit Beim Sinus hab ich ja eine Periode von und Welchen Wert muss ich aber jetzt für k einsetzen? 0,1 oder 2? Und was ist mein ? |
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27.11.2016, 22:09 | leodavinci | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Gram-Schmidt mit Funktionen Ich habe jetzt mal etwas rumprobiert und folgendes rausbekommen: Ist das die richtige Lösung? |
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27.11.2016, 22:14 | 10001000Nick1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Achso, ich dachte eigentlich, dass ihr Entwicklungen nach einem vollständigen Orthonormalsystem in einem Hilbertraum als Fouriersumme/-reihe bezeichnet habt. Was du aufgeschrieben hast, ist ein Spezialfall in einem bestimmten Funktionenraum. Die Aufgabe hat nichts mit Entwicklungen nach den -Funktionen zu tun. Allgemeiner sieht es so aus: sei ein Hilbertraum, ein Untervektorraum von mit Orthonormalbasis . Dann existiert zu jedem genau eine Bestapproximierende (*), und es gilt: . (*) D.h.: ; ist dasjenige Element von mit minimalem Abstand zu . (bei Interesse kannst du dir das hier angucken: http://www.mathematik.tu-dortmund.de/lsv...ionstheorie.pdf, Kapitel 4). In deiner Aufgabe ist mit dem Skalarprodukt aus der Aufgabe. Die Unterräume sind . Orthonormalbasen für diese Räume haben wir oben berechnet. |
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27.11.2016, 22:26 | leodavinci | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Gram-Schmidt mit Funktionen Jetzt hast du mich verwirrt... Muss ich jetzt folgendes rechnen: mit |
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27.11.2016, 22:30 | 10001000Nick1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
muss eine Orthonormalbasis sein. Das ist bei nicht der Fall; du musst die Funktionen nehmen, die wir berechnet hatten. ist eine Orthonormalbasis von ist eine Orthonormalbasis von ist eine Orthonormalbasis von |
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27.11.2016, 22:36 | leodavinci | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Gram-Schmidt mit Funktionen Wenn ich das aber benutze komme ich nur auf den Wert 1, nämlich so: |
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27.11.2016, 22:48 | 10001000Nick1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich habe mal in diesem Beitrag durch ersetzt. ist also ein Element des Vektorraums. Du bist da nämlich durcheinandergekommen: Du willst die Bestapproximation von berechnen. D.h. du musst die Skalarprodukte von mit den Basisfunktionen berechnen. Die Bestapproximation von in ist . |
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27.11.2016, 22:57 | leodavinci | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Gram-Schmidt mit Funktionen Dann also so: Stimmt das jetzt? |
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27.11.2016, 23:08 | 10001000Nick1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, das ist die Bestapproximierende im Raum . Was ist mit den Räumen und ? |
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27.11.2016, 23:15 | leodavinci | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Gram-Schmidt mit Funktionen Die Bestapprox in hast du ja schon hingeschrieben. Ausgerechnet ergibt das 0. Denn ich muss ja die Summe bloß über k=0 nehmen. Für nehme ich die Summe über k=0 bis 1 und ich komme auch auf |
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27.11.2016, 23:17 | 10001000Nick1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Bei unserer Notation (Basisfunktionen ) wären es zwar die Summen über k=1 bis 1 bzw. k=1 bis 2, aber deine Ergebnisse stimmen. |
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27.11.2016, 23:21 | leodavinci | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Gram-Schmidt mit Funktionen Okay vielen Dank für deine Hilfe und Geduld!!! |
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