Gram-Schmidt mit Funktionen

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leodavinci Auf diesen Beitrag antworten »
Gram-Schmidt mit Funktionen
Meine Frage:
[attach]43094[/attach]

Meine Ideen:
Bisher habe ich das Gram-Schmidt Verfahren nur mit Vektoren im und dem "Standard-Skalarprodukt" durchgeführt.

Meine Idee hierzu:


Ist dieser Ansatz richtig? Und wenn ja, wie berechne ich die Norm von dem letzten Ausdruck?
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gram-Schmidt mit Funktionen
Zitat:
Original von leodavinci


Das stimmt schonmal nicht. Mit ist hier nicht die reelle Zahl 1 gemeint, sondern die konstante Einsfunktion, d.h. .

Demzufolge ist nicht der reelle Betrag, sondern die Norm, die durch das Skalarprodukt induziert wird: .

Und dann ist .
 
 
leodavinci Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gram-Schmidt mit Funktionen
Oh natürlich!

Die Norm wäre dann nach der Definition des Skalarprodukt

Also wäre

Somit:



Muss ich jetzt aber die Norm so berechnen
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Dein stimmt nicht. (Es erfüllt z.B. nicht die Bedingung .)
Irgendwo hast du dich da verrechnet.
leodavinci Auf diesen Beitrag antworten »
Gram-Schmidt mit Funktionen
Habe jetzt nochmal gerechnet:

Ich habe jetzt folgendes raus:


Der dritte Schritt war hierbei:


Ist das korrekt?
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Ohje, ich habe oben eine Wurzel vergessen. Es muss heißen: . Sorry. Ups

Deine Ergebnisse wären richtig, wenn man die Wurzel weglässt (wobei man dann gar keine Norm mehr hätte).

Es sollte folgendes rauskommen:




leodavinci Auf diesen Beitrag antworten »
Gram-Schmidt mit Funktionen
Ok vielen Dank! Wie ist denn die Herangehensweise bei Teilaufgabe b)?
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Habt ihr in der Vorlesung schon besprochen, was eine Bestapproximation ist, und wie man die berechnet? Das sollst du hier anwenden.
leodavinci Auf diesen Beitrag antworten »
Gram-Schmidt mit Funktionen
Wir haben einmal die Bestapprox. durch Fouriersummen durchgenommen. Muss ich das hier anwenden?
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja. smile
leodavinci Auf diesen Beitrag antworten »
Gram-Schmidt mit Funktionen
Wir haben dazu folgendes aufgeschrieben:
Die Bestapprox. ist gegeben durch


mit



Beim Sinus hab ich ja eine Periode von
und


Welchen Wert muss ich aber jetzt für k einsetzen? 0,1 oder 2? Und was ist mein ?
leodavinci Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gram-Schmidt mit Funktionen
Ich habe jetzt mal etwas rumprobiert und folgendes rausbekommen:



Ist das die richtige Lösung?
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Achso, ich dachte eigentlich, dass ihr Entwicklungen nach einem vollständigen Orthonormalsystem in einem Hilbertraum als Fouriersumme/-reihe bezeichnet habt.

Was du aufgeschrieben hast, ist ein Spezialfall in einem bestimmten Funktionenraum. Die Aufgabe hat nichts mit Entwicklungen nach den -Funktionen zu tun.

Allgemeiner sieht es so aus: sei ein Hilbertraum, ein Untervektorraum von mit Orthonormalbasis .
Dann existiert zu jedem genau eine Bestapproximierende (*), und es gilt: .

(*) D.h.: ; ist dasjenige Element von mit minimalem Abstand zu .

(bei Interesse kannst du dir das hier angucken: http://www.mathematik.tu-dortmund.de/lsv...ionstheorie.pdf, Kapitel 4).

In deiner Aufgabe ist mit dem Skalarprodukt aus der Aufgabe. Die Unterräume sind . Orthonormalbasen für diese Räume haben wir oben berechnet.
leodavinci Auf diesen Beitrag antworten »
Gram-Schmidt mit Funktionen
Jetzt hast du mich verwirrt...

Muss ich jetzt folgendes rechnen:



mit
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

muss eine Orthonormalbasis sein. Das ist bei nicht der Fall; du musst die Funktionen nehmen, die wir berechnet hatten.

ist eine Orthonormalbasis von
ist eine Orthonormalbasis von
ist eine Orthonormalbasis von
leodavinci Auf diesen Beitrag antworten »
Gram-Schmidt mit Funktionen
Wenn ich das aber benutze komme ich nur auf den Wert 1, nämlich so:

10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe mal in diesem Beitrag durch ersetzt. ist also ein Element des Vektorraums.

Du bist da nämlich durcheinandergekommen: Du willst die Bestapproximation von berechnen. D.h. du musst die Skalarprodukte von mit den Basisfunktionen berechnen.

Die Bestapproximation von in ist .
leodavinci Auf diesen Beitrag antworten »
Gram-Schmidt mit Funktionen
Dann also so:



Stimmt das jetzt?
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das ist die Bestapproximierende im Raum . Was ist mit den Räumen und ?
leodavinci Auf diesen Beitrag antworten »
Gram-Schmidt mit Funktionen
Die Bestapprox in hast du ja schon hingeschrieben. Ausgerechnet ergibt das 0. Denn ich muss ja die Summe bloß über k=0 nehmen.
Für nehme ich die Summe über k=0 bis 1 und ich komme auch auf
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Bei unserer Notation (Basisfunktionen ) wären es zwar die Summen über k=1 bis 1 bzw. k=1 bis 2, aber deine Ergebnisse stimmen. Augenzwinkern
leodavinci Auf diesen Beitrag antworten »
Gram-Schmidt mit Funktionen
Okay vielen Dank für deine Hilfe und Geduld!!!
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