Integral sin*cos mit komplexer e-Funktion lösen

27.11.2016, 13:58

steffen889

Integral sin*cos mit komplexer e-Funktion lösen

Hallo,

ich bin bei dem Versuch das Integral:

$\begin{eqnarray*} \int_{ }^{}\!{cos(x)*sin(x)\,dx} \end{eqnarray*}$ (1)

zu lösen auf die Idee gekommen das ganze mit Hilfe der komplexen e-Funktion zu lösen, also:

$\begin{eqnarray*} \int_{ }^{}\!{cos(x)*sin(x)\,dx} = <br /> \int_{ }^{}\!{\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}*\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}\,dx}<br /> \end{eqnarray*}$ (2)

Wenn ich das löse kommt, dass hier raus:

$\begin{eqnarray*} \int_{ }^{}\!{\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}*\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}\,dx} = -cos(2x)/4 \end{eqnarray*}$

Was ja nicht gleich der Lösung von (1) ist.

Meine Frage ist jetzt, darf ich die Gleichsetzung bei (2) nicht machen?

Vielen Dank.

Steffen

28.11.2016, 09:00

klarsoweit

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RE: Integral sin*cos mit komplexer e-Funktion lösen

Zitat:

Original von steffen889
Was ja nicht gleich der Lösung von (1) ist.

Ähh, wieso nicht? Wenn ich $\begin{eqnarray*} f(x) = - \frac 1 4 cos(2x) \end{eqnarray*}$ ableite, komme ich auf $\begin{eqnarray*} f'(x) = \frac 1 2 sin(2x) = \frac 1 2 \cdot 2 sin(x) \cdot cos(x) \end{eqnarray*}$ . smile

28.11.2016, 09:01

Huggy

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RE: Integral sin*cos mit komplexer e-Funktion lösen

Zitat:

Original von steffen889
$\begin{eqnarray*} \int_{ }^{}\!{\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}*\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}\,dx} = -cos(2x)/4 \end{eqnarray*}$

Was ja nicht gleich der Lösung von (1) ist.

Bis auf eine Konstante ist das schon gleich und Stammfunktionen sind ja nur bis auf eine Konstante bestimmt.

28.11.2016, 14:55

steffen889

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Danke euch zwei.

Auf die Idee mit dem Ableiten bin ich gar nicht gekommen. In meiner Formelsammlung stand eben als Stammintegral (sin(x))^2/2 .
Mit einem Additionstheorem komme ich jetzt auf:
-1/4 +(sin(x))^2/2 . Wenn ich jetzt die Konstante weg lasse, stimmt es wieder.

Im Internet habe ich für die Berechnung des Integrals immer nur den Ansatz über die partielle Integration gefunden. Da finde ich meine Methode, aber wesentlich einfacher.

28.11.2016, 15:28

Huggy

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Da

$\begin{eqnarray*} \cos x = \frac {d \sin x}{dx} \end{eqnarray*}$

ist die Substitution

$\begin{eqnarray*} y=\sin x \end{eqnarray*}$

die einfachste Lösung.

28.11.2016, 16:06

HAL 9000

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Zitat:

Original von Huggy
die einfachste Lösung.

Naja, im Anspruch um diesen Titel sehe ich die klarsoweit-Variante (Doppelwinkel-Additionstheorem) zumindest gleichauf. smile

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Integral sin*cos mit komplexer e-Funktion lösen

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