Orthogonales Polynom

27.11.2016, 13:59

ThomasBerlin

Orthogonales Polynom

Meine Frage:
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V ist definiert als $\begin{eqnarray*} V:= C(\left[-1,1\right] ,\mathbb R) \end{eqnarray*}$ Raum der stetigen Funktion von $\begin{eqnarray*} \left[-1,1\right] \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$

und
$\begin{eqnarray*} <f,g>:=\int_{-1}^{1} \! f(x)g(x) \, dx \end{eqnarray*}$ ist das Skalarprodukt.

Meine Ideen:
Ich muss doch nun ein Polynom q vom Grad kleiner gleich 3 finden, für das das Skalarprodukt 0 wird.
$\begin{eqnarray*} p(x)=-x^4+ax^2+b<br /> q(x)=cx^3+dx^2+ex+f \end{eqnarray*}$

Also

$\begin{eqnarray*} p(x)\cdot q(x)=(-x^4+ax^2+b)(cx^3+dx^2+ex+f)<br /> =acx^5+adx^4+afx^2+eax^3+bcx^3+bdx^2+bf+ebx-cx^7-dx^6-fx^4-ex^5=r(x)<br /> \Rightarrow \int_{-1}^{1} \! r(x) \, dx = \frac{2ad}{5}+\frac{2af}{5}+\frac{2bd}{3}+2bf-\frac{2d}{7}-\frac{2f}{5} \end{eqnarray*}$

Das soll doch null sein. Wenn ich jetzt a und b null setze, bleiben doch nur noch die letzten zwei Terme stehen (0 gehört doch zu den reellen Zahlen, also darf ich das doch machen?!):
$\begin{eqnarray*} -\frac{2d}{7}-\frac{2f}{5}=0<br /> \frac{2d}{7}=-\frac{2f}{5} \end{eqnarray*}$

Hab ich das jetzt richtig verstanden, dass ich nur ein d und f finden muss, für das diese Gleichung erfüllt ist?

27.11.2016, 15:06

ThomasBerlin

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RE: Orthogonales Polynom
Ich habe das Ergebnis des Integrals jetzt noch einmal umgeformt zu
$\begin{eqnarray*} d(-\frac{2a}{5}+\frac{2b}{3}-\frac{2}{7})-\frac{2}{15}f(5a-15b+3)=0 \end{eqnarray*}$

Damit die Behauptung für alle q gilt müssen also beide Klammern null werden. Dies ist der Fall für
$\begin{eqnarray*} a=-\frac{6}{7},b=-\frac{3}{35} \end{eqnarray*}$

Also gibt es ein Polynom p mit $\begin{eqnarray*} p(x)=-x^4-\frac{6}{7}x^2-\frac{3}{35} \end{eqnarray*}$

Stimmt das?

27.11.2016, 17:30

Leopold

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Du brauchst das nicht so umständlich zu lösen. Nimm einfach die Polynome $\begin{align*} u,v \end{align*}$ mit $\begin{align*} u(x)=1 \end{align*}$ und $\begin{align*} v(x)=x^2 \end{align*}$ . Dann erhältst du aus $\begin{align*} \langle p,u \rangle = 0 \end{align*}$ und $\begin{align*} \langle p,v \rangle = 0 \end{align*}$ ein lineares Gleichungssystem in $\begin{align*} a,b \end{align*}$ , aus dem du die beiden unmittelbar berechnen kannst. Und damit ist gezeigt: Es gibt höchstens ein Polynom $\begin{align*} p \end{align*}$ wie gewünscht. Dann mußt du noch zeigen, daß dieses $\begin{align*} p \end{align*}$ auch tatsächlich orthogonal zum Unterraum $\begin{align*} U \end{align*}$ aller Polynome von einem Grad höchstens 3 ist. Und es genügt, das für eine Basis zu zeigen. Ergänze $\begin{align*} u,v \end{align*}$ zu einer Basis von $\begin{align*} U \end{align*}$ .

Dein Ergebnis stimmt nicht. Aber es ist beinahe richtig.

27.11.2016, 18:02

ThomasBerlin

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Orthogonales Polynom
Der Ansatz bei mir war doch richtig oder? Wo genau habe ich denn einen Fehler gemacht?

27.11.2016, 19:56

Leopold

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RE: Orthogonales Polynom
Es sind halt ein paar Rechenfehler drin. Die Lösungsidee stimmt. Nur eben zu umständlich.

Zitat:

Original von ThomasBerlin
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \int_{-1}^{1} \! r(x) \, dx = \frac{2ad}{5}+\color{red} \frac{2af}{5}\color{black} +\frac{2bd}{3}+2bf-\frac{2d}{7}-\frac{2f}{5} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von ThomasBerlin
$\begin{eqnarray*} d(\color{red} -\frac{2a}{5} \color{black} +\frac{2b}{3}-\frac{2}{7})-\frac{2}{15}f(\color{red} 5a \color{black} -15b+3)=0 \end{eqnarray*}$

27.11.2016, 21:06

ThomasBerlin

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RE: Orthogonales Polynom
Ach okay bei mir war das Vorzeichen falsch! Es sind $\begin{eqnarray*} +\frac{6}{7} \end{eqnarray*}$

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