Lineare Unabhängigkeit von Familien zeigen

27.11.2016, 15:16

alex96

Lineare Unabhängigkeit von Familien zeigen

Meine Frage:
Hallo smile

ich muss die Aufgabe hier lösen, habe aber unerwarteter Weise Probleme hiermit. Wie ich normal prüfe, ob solche Familien wie ((1,0,1),(2,3,4),(0,0,0)) linear unabhängig sind weiß ich und habe auch keine Probleme damit. Aber anscheinend stehe ich hier jetzt irgendwie auf dem Schlauch und weiß nicht wie ich anfangen soll. Hoffentlich kann mir einer von euch helfen smile

Sei V=Abb(R,R) und f1,f2,f3 Element V gegeben durch f1(x)=1, f2(x)=x, f3(x)=x² für x Element R. Zeige, dass die Familie (f1,f2) linear unabhängig ist.
Ist f3 Element R<f1,f2> ?

Meine Ideen:
bei ((1,0,1),(2,3,4),(0,0,0)) würde ich a(1,0,1)+ b(2,3,4)+ c(0,0,0) = 0 setzten und a,b,c müssen 0 sein. Aber wie mache ich dies, wenn ich f1,f2 gegeben habe?

27.11.2016, 18:24

Mulder

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RE: Lineare Unabhängigkeit von Familien zeigen
Das Prinzip bleibt das gleiche. Der Ansatz ist hier:

$\begin{eqnarray*} a_1f_1(x)+a_2f_2(x)+a_3f_3(x) = \color{blue}0 \end{eqnarray*}$

Wobei hier $\begin{eqnarray*} \color{blue}0 \end{eqnarray*}$ die Nullabbildung bezeichnet. Also die Abbildung, die alles auf $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ abbildet. Denn die bildet in $\begin{eqnarray*} \operatorname{Abb(\mathbb R, \mathbb R)} \end{eqnarray*}$ sozusagen den Nullvektor.

Konkret heißt das, dass die Gleichung

$\begin{eqnarray*} a_1f_1(x)+a_2f_2(x)+a_3f_3(x) = 0 \end{eqnarray*}$

(hier steht rechts jetzt wieder die Zahl $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ ) für alle $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ erfüllt sein muss.

Das kannst du nach und nach beweisen. Setze z.B. mal $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ ein - was ergibt sich dann?

Und so weiter ...

27.11.2016, 19:50

alex96

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wenn ich für x=0 einsetzte bleibt $\begin{eqnarray*} f_1 = 1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f_2 = 0 \end{eqnarray*}$ oder?
und damit bekomme ich dann die Gleichung $\begin{eqnarray*} a_1 + a_2 x = 0 \end{eqnarray*}$ ?

stimmt das oder habe ich da jetzt irgendwas komplett falsch verstanden?

27.11.2016, 22:12

Mulder

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RE: Lineare Unabhängigkeit von Familien zeigen
Was ist mit $\begin{eqnarray*} f_3(x)=x^2 \end{eqnarray*}$ ?

Wir wollen doch nicht schluderig werden und die Hälfte vergessen, oder? Augenzwinkern

Und wie gesagt: Für x wollen wir auch 0 einsetzen. Es gibt hier beim Einsetzen durchaus mehrere Optionen. Ich habe dir nur einen einfachen Anfangspunkt angeben wolllen. Aber fühl dich frei, nach eigenem Belieben vorzugehen.

27.11.2016, 22:31

alex96

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aber wenn ich doch nur zeigen will, dass $\begin{eqnarray*} f_1 f_2 \end{eqnarray*}$ linear unabhängig ist brauche ich $\begin{eqnarray*} f_3 \end{eqnarray*}$ doch nicht ?

wie prüfe ich dann ob f3 Element R<f1,f2> ist ?

28.11.2016, 09:32

klarsoweit

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Zitat:

Original von alex96
aber wenn ich doch nur zeigen will, dass $\begin{eqnarray*} f_1 f_2 \end{eqnarray*}$ linear unabhängig ist brauche ich $\begin{eqnarray*} f_3 \end{eqnarray*}$ doch nicht ?

Korrekt. (Vermutlich hat Mulder da etwas überlesen.)

Zitat:

Original von alex96
wie prüfe ich dann ob f3 Element R<f1,f2> ist ?

Wie man das eben typischerweise macht: prüfe, ob sich f3 als Linearkombination aus f1 und f2 darstellen läßt. smile

28.11.2016, 11:14

alex96

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Wie genau prüfe ich das? Ich musste noch nie zeigen, ob sich f3 als Linearkombination aus f1 und f2 darstellen lässt. ..
Danke für die Antworten bis jetzt

28.11.2016, 11:39

klarsoweit

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RE: Lineare Unabhängigkeit von Familien zeigen
Was hält dich denn davon ab, mal eine Linearkombination aus f1 und f2 hinzuschreiben und zu schauen, ob man damit irgendwie das f3 erzeugen kann? Das ist doch im Prinzip nichts anderes als:

Zitat:

Original von Mulder
Das Prinzip bleibt das gleiche. Der Ansatz ist hier:

$\begin{eqnarray*} a_1f_1(x)+a_2f_2(x)+a_3f_3(x) = \color{blue}0 \end{eqnarray*}$

Die zu untersuchende Gleichung sieht jetzt so aus: $\begin{eqnarray*} a_1f_1(x) + a_2f_2(x) = f_3(x) \end{eqnarray*}$

28.11.2016, 18:01

Mulder

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Oha, dass nur f1,f2 untersucht werden soll, hatte ich wirklich überlesen, sorry alex96.

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