Beweis Standardbasis

27.11.2016, 19:18

kaLLo

Beweis Standardbasis

Meine Frage:
Hey smile

ich soll folgenden Satz beweisen, weiß aber nicht genau wie ich das tun soll.
Ich hoffe ihr könnt mir helfen.

Seien I eine endliche Menge und Abb(I,K) der Vektorraum aller Abbildungen von I nach K mit der punktweisen Addition und Skalarmultiplikation. Für i Element I sei

$\begin{eqnarray*} e_i : I->K, j|->delta_ij = {} \end{eqnarray*}$ { 1 falls j=i ist, 0 falls j ungleich i ist.

Dann ist die Familie $\begin{eqnarray*} (e_i)_i Element I \end{eqnarray*}$ eine Basis von Abb (I,K) und heißt Standardbasis von Abb(I,K)

Meine Ideen:
Soweit ich weiß muss ich beweisen, dass es ein EZS ist und linear unabhängig ist. Aber ich weiß nicht, wie genau ich dies tun soll.

28.11.2016, 07:15

Elvis

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EZS: zeige, dass sich jede Funktion als endliche Linearkombination dieser $\begin{eqnarray*} e_i \end{eqnarray*}$ darstellen lässt.
L.u.: zeige, dass die Nullfunktion nur trivial darstellbar ist.

28.11.2016, 09:43

Dopap

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RE: Beweis Standardbasis

Zitat:

$\begin{eqnarray*} e_i : K, j| \Rightarrow \delta_{ij} f(x) = \begin{cases} 1 & j=i \\ 0 & j\neq i \end{cases} \end{eqnarray*}$
Dann ist die Familie $\begin{eqnarray*} (e_i)_i \in I \end{eqnarray*}$ eine Basis von Abb (I,K) und heißt Standardbasis von Abb(I,K)

das Latex ist recht einfach - kannst das mit "Zitat" anschauen - Rechts gibt's den "Formeleditor" und statt Latex genügt ein L oder l in den Latex-Tags smile

28.11.2016, 10:24

10001000Nick1

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Ich wäre eher für folgendes:
$\begin{eqnarray*} e_i: I\to K, j\mapsto \delta_{ij}=\begin{cases} 1 & i=j \\ 0 & i\neq j \end{cases} \end{eqnarray*}$

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