DGL Linearisieren und lösen

27.11.2016, 22:50	malte222	Auf diesen Beitrag antworten »
DGL Linearisieren und lösen Hallo! Ich möchte für die Uni eine nichtlineare DGL mittels Excel linearisieren und lösen. Sie lautet folgendermaßen: $\begin{eqnarray} a\dot{v}+b v^2 +c v+d=0 \end{eqnarray}$ v beschreibt hierbei die Geschwindigkeit eines Fahrzeugs. Die DGL ergab sich aus einem Kräftegleichgewicht am Fahrzeug bestehend aus Antriebskraft, Beschleunigungswiderständen, Luftwiderständen, Rollwiderständen, etc. Die Koeffizienten a,b,c,d habe ich bereits bestimmt. Nun möchte ich mithilfe einer Bedingung für die Anfangsgeschwindigkeit den gesamten Geschwindigkeitsverlauf erstellen. dazu habe ich die DGL nach $\begin{eqnarray} \dot{v} \end{eqnarray}$ isoliert und mit dem Differentialquotienten gleichgesetzt: $\begin{eqnarray} \dot{v}=\frac{-b v^2-c v -d}{a}=\dot{v}(t)=\frac{v(t+\Delta t)-v(t)}{\Delta t} \end{eqnarray}$ Die Schrittweite $\begin{eqnarray} \Delta t \end{eqnarray}$ muss natürlich sehr klein sein und kann dann entsprechend von mir gewählt werden. Nun hab ich das ganze nach $\begin{eqnarray} v(t+\Delta t) \end{eqnarray}$ umgeformt: $\begin{eqnarray} v(t+\Delta t)=\frac{-b v^2 -c v-d}{a}\cdot \Delta t+v \end{eqnarray}$ Damit hatte ich mir erhofft -ausgehend von der bekannten Geschwindigkeit bei $\begin{eqnarray} t=0 \end{eqnarray}$ - schrittweise die Geschwindigkeit vom nächsten Zeitpunkt $\begin{eqnarray} t=\Delta t \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} t=2\Delta t \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} t=3\Delta t \end{eqnarray}$ , usw. zu berechnen. Komischerweise nimmt die Geschwindigkeit allerdings ab, und das obwohl das Fahrzeug beschleunigen soll Hab ich irgendwo einen Denkfehler gemacht? Ist meine Vorgehensweise prinzipiell sinnvoll so? Habt ihr alternative Vorschläge wie ich die DGL mit einer bestimmten Schrittweise linearisieren und somit auf meinen Geschwindigkeitsverlauf kommen kann? Ich bin mir recht sicher, dass ich bei der Berechnung der Koeffizienten a,b,c,d keinen Fehler gemacht habe, da ich dies bereits mehrfach geprüft habe. Vielen Dank!
28.11.2016, 08:36	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: DGL Linearisieren und lösen Dein Verfahren zur numerischen Lösung der DGL ist prinzipiell in Ordnung. Möglicherweise hast du einen Vorzeichenfehler bei einer der Konstanten. Gib mal die Werte der Konstanten an und dein Ergebnis für den ersten Rechenschritt $\begin{eqnarray} v(t+\Delta t)= ... \end{eqnarray}$ . P.S. Unter Linearisierung einer DGL versteht man gewöhnlich etwas anderes.
28.11.2016, 10:01	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Kräftegleichgewicht lautet $\begin{eqnarray} \underbrace{a \dot v}_{\text{Trägheitskraft}}+\underbrace{bv^2}_{\text{Luftwiderstandskraft}}+\underbrace{cv}_{\text{Rollwiederstandkarft}}+\underbrace{d}_{\text{Antriebskraft}}=0 \end{eqnarray}$ Beim Anfahren des Autos wirken die ersten 3 Summanden der Beschleunigung entgegen. Da die Parameter a, b, c wie üblich positiv gezählt werden, werden die ersten 3 Summanden beim Anfahren also positiv. Folglich muss die Antriebskraft d negativ gezählt werden. Anderenfalls ergäbe die Summe der 4 Summanden nicht null.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »