Tieferes Verständnis von Sinus (oder allgemein den trigonometrischen Funktionen)

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fragesteller01 Auf diesen Beitrag antworten »
Tieferes Verständnis von Sinus (oder allgemein den trigonometrischen Funktionen)
Hallo,

ich möchte wissen, was die Ergebnisse des Sinus zu bedeuten haben, jeweils beim "normalen Sinus" und beim Sinus im Bogenmaß.
Dabei ist hinzuzufügen, dass mir schon bewusst ist, dass man Winkel wie z.B. 180 Grad im Bogenmaß mit Pi darstellen kann.

Das Problem ist, dass ich ein bisschen die grundsätzliche Logik hinter dem Ergebnis des Sinus bei den beiden verschiedenen Systemen nicht verstehe.
Denn soweit ich weiß, geben die trigonometrischen Funktionen, wie z.B. der Sinus, die Verhältnisse der Seiten an, beim Sinus eben das Verhältnis von Gegenkathete/Hypothenuse.
Und das Verhältnis muss bei dem gleichen Winkel immer gleich sein, egal wie groß das Dreieck ist. Warum gibt also z.B. der sinus von 45 grad:

beim normalen Sinus 0,85...
und beim Bogenmaß-Sinus 0,70...


1) Bei beiden gilt doch das selbe Verhältnis Gegenkathete/Hypothenuse.....wieso kommt dann etwas anderes raus?
2) Wie kann es sein, dass der "normale Sinus" von 99 Grad mit -0,99 negativ ist? Das impliziert ja, dass die Gegenkathete ein negativen Wert annehmen kann. Soweit ich weiß, sind doch alle Längen positiv in z.B. einem Dreieck....und beim normalen Sinus gilt ja nicht der Einheitskreis, der ja nur beim Bogenmaß-Sinus gilt.


Vielen Dank im Voraus
Namenloser324 Auf diesen Beitrag antworten »

Das sind die selben Funktionen, nur wird das Funktionsargument (also dein x) anders interpretiert bzw. bedeutet etwas anderes. Beim Bogenmaß wird ein Winkel entsprechend der zu einem Winkel gehörenden Bogenlänge des Einheitskreises (also eines Kreises mit Radius 1) angegeben. 45° entsprechen also 2*Pi/8 = Pi/4 im Bogenmaß.

Probier es aus:

sin(45°) = sin(pi/4), linke Seite mit der Einstellung des Taschenrechners in Grad und rechte Seite mit der Einstellung fürs Bogenmaß. Allgemein lautet die Umrechnungsformel:
(Winkel in Grad) ist = in Bogenmaß 2*Pi * Winkel in Grad/360.


Beide machen genau das selbe, nur ist die "Winkeleinheit" eine andere. So wie km/h vs m/s.
fragesteller01 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Namenloser324

Probier es aus:

sin(45°) = sin(pi/4), linke Seite mit der Einstellung des Taschenrechners in Grad und rechte Seite mit der Einstellung fürs Bogenmaß. .


Mir ist schon klar, wie ich es im Taschenrechner umstelle und das dort zwei verschiedene Werte rauskommen. Mir ist eben nicht einleuchtend, warum, immer noch nicht.

Ich sehe da immer nur das Verhältnis bezw. die Formel -> Gegenkathete/Hypothenuse=sinus des jeweiligen Winkels
Das ist so als würde mir jemand sagen, dass

2/1=2
und dann
2/1=8

....du siehst....ich verstehe nicht, warum bei gleichen Werten und bezw. gleichen Verhältnissen etwas unterschiedliches rauskommt.
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Es gibt nur einen Sinus. Und bei dem musst Du den Winkel im Bogenmaß eingeben.

Dass Du auch 45° eingeben kannst, ist eine Luxusfunktion Deines Taschenrechners, der in diesem Fall für Dich die Umrechnung ins Bogenmaß erledigt. Du musst ihm das aber vorher mitteilen, indem Du auf DEG stellst.

Tust Du das nicht, geht er wie üblich davon aus, dass Du den Winkel im Bogenmaß eingibst. Die Zahl 45 entspricht dann etwa 2578°. Und davon ist der Sinus nun einmal 0,85.

Viele Grüße
Steffen
fragesteller01 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Steffen Bühler


Tust Du das nicht, geht er wie üblich davon aus, dass Du den Winkel im Bogenmaß eingibst. Die Zahl 45 entspricht dann etwa 2578°. Und davon ist der Sinus nun einmal 0,85.


Warum genau ist jetzt der Winkel 45 Grad eigentlich ein Winkel von 2578 Grad ?


Oder anders gesagt, der Taschenrechner muss ja verschiedene Rechenschritte durchlaufen, damit er bei den verschiedenen Sinus-"Normen" (normaler Sinus und Sinus im Bogenmaß) zwei verschiedene Werte herausbekommt.

Kann mir daher vielleicht jemand ausführlich die Rechenschritte des Taschenrechners für den Sinus des Winkels 45 Grad hier aufschreiben? Einmal die Rechenschritte für den normalen Sinus und einmal die Rechenschritte für das Bogenmaß? Aber ausführlich bitte smile

Am Ende kommen ja zwei verschiedene Werte heraus, also müssen auch die Rechenwege/Rechenschritte unterschiedliche sein.

Aber die Seitenlängen der Gegenkathete und Hypothenuse müssen ja das selbe Verhältnis bei beiden Rechenwegen haben.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von fragesteller01
Warum genau ist jetzt der Winkel 45 Grad eigentlich ein Winkel von 2578 Grad ?

NEIN!!! Nicht "45 Grad", sondern nur "45", gleichbedeutend mit 45 Radiant.

-------------------------------------------

Nochmal zusammengefasst: Was wird berechnet, wenn du mit Wert im Display auf die -Taste deines TR drückst?

a) im Modus RAD:

b) im Modus DEG:

c) im Modus GRAD/GON (weniger bekannt):
 
 
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von fragesteller01
Warum genau ist jetzt der Winkel 45 Grad eigentlich ein Winkel von 2578 Grad ?


Ist er eben nicht! Die Zahl 45 ist dasselbe wie ein Winkel von 2578°. Ein Taschenrechner kennt nur Zahlen, von Winkeln weiß er nicht. Dass wir den Vollkreis zufällig gern in 360 Grad einteilen, ist völlig willkürlich und dem Taschenrechner egal. Sein Algorithmus verlangt eine Zahl. Die steckt er dann beispielsweise in eine unendliche Reihe wie etwa , und bricht ab, wenn er genügend Stellen beisammen hat.

Dass diese Reihe bei x=45 was anderes ausspuckt als den Sinus von 45°, ist verständlich. Falls Du aber eben im Luxusmodus DEG bist, nimmt er Dir netterweise die Umformung ab.
fragesteller01 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von HAL 9000
Zitat:
Original von fragesteller01
Warum genau ist jetzt der Winkel 45 Grad eigentlich ein Winkel von 2578 Grad ?

NEIN!!! Nicht "45 Grad", sondern nur "45", gleichbedeutend mit 45 Radiant.

-------------------------------------------

Nochmal zusammengefasst: Was wird berechnet, wenn du mit Wert im Display auf die -Taste deines TR drückst?

a) im Modus RAD:

b) im Modus DEG:

c) im Modus GRAD/GON (weniger bekannt):


So...heißt das also, dass der "echte Sinus" nicht mit den uns in der Schule gelehrten Formeln wie Gegenkathete/Hypothenuse berechnet werden kann? Denn wenn ich beim Dreieck

a=4cm
b=4cm
c= 5,7 cm
betta-Winkel=45 grad

den Sinus von betta mit Gegekathete/Hypothenuse berechne bekomme ich ja: 4/5,7= 0,70...
Der "echte" Sinus wäre aber laut deiner Aussagen , wenn man das in Rad berechnet, also dann 0,85 , korrekt?
Wieso benutzt man dann nicht eigentlich immer den "echten" Sinus? Wozu benötigt man dann einen Sinus in DEG?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von fragesteller01
Der "echte" Sinus wäre aber laut deiner Aussagen , wenn man das in Rad berechnet, also dann 0,85 , korrekt?

Wieso operierst du andauernd mit , wo doch klar und deutlich steht? unglücklich

Ein letztes Mal: Wenn du den Sinus von 45° mit dem TR bestimmen willst, hast du verschiedene Möglichkeiten:

a) Umrechnung in Bogenmaß, also und dann Berechnung des Sinuswertes davon im RAD-Modus, also

b) Einfach 45 eintippen und dann SIN-Taste im DEG-Modus. Die an sich nötige Bogenmaßumrechnung wie in a) übernimmt dann der TR (s.o.), er rechnet sofort aus.

Zitat:
Original von fragesteller01
Wozu benötigt man dann einen Sinus in DEG?

Wie schon mehrfach erwähnt: Aus Bequemlichkeitsgründen, weil dann der TR die Umrechnung ° in Radiant praktischerweise gleich mit übernimmt.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Hier gab es schon einmal eine Diskussion zu Einheiten in der Winkelmessung. Über den persönlichen Streit, den zwei der Diskutanten miteinander austrugen, muß man hinweglesen. Ansonsten findet man interessante Einsichten in die Problematik.
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Ich kann mich auch noch an die etwas gemäßigtere hier erinnern:
Grad- und Bogenmaß
Fragesteller01 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von LeopoldHier gab es schon einmal eine Diskussion zu Einheiten in der Winkelmessung. Über den persönlichen Streit, den zwei der Diskutanten miteinander austrugen, muß man hinweglesen. Ansonsten findet man interessante Einsichten in die Problematik.



Oh man, jetzt hab ich es verstanden....keine Ahnung warum ich da nen Aussetzer hatte. Aber trotzdem noch mal zum Abgleich, dass ich es wirklich verstanden habe und vielleicht für jemanden, der in Zukunft das selbe Problem hat (überprüft also meine Niederschrift hier! smile :

1)
a) Für den selben Winkel, egal wie groß, kann immer nur ein Sinus-Wert herauskommen, bei 45 Grad wäre das z.B. : 0,707... (und kein anderer Wert! Bei ungenauen Rundungen kann der natürlich LEICHT abweichen)
b) Wenn man mit dem Taschenrechner nicht klarkommt oder auch ein Verständnisproblem hat, so kann man sich sicher sein, dass die "manuelle" Ausführung der Rechenoperation der trigonometrischen Sätze, wie z.B. [Sinus = Gegenkathete/Hypothenuse] , IMMER den richtigen Sinus-Wert ergibt (also zumindest im rechtwinkligem Dreieck, soweit mir bekannt ist)

-------------------------------------------------------------------------------------------------

2) So nun zum Taschenrechner und dem Problem der zwei verschiedenen Ergebnisse:

Der Taschenrechner hat in seinem Speicher, Listen/Tabellen gespeichert. In diesen Listen/Tabellen steht für jeden Winkel der jeweilige Sinus-Wert. Beim Benutzen der Sinusfunktion des Taschenrechners überprüft der Taschenrechner, welche Eingabe sich bei x befindet in der Taschenrechner-Funktion/Aussage [sin(x)] und "rechnet" nicht den Sinus-Wert aus, sondern schaut nur in der Liste/Tabelle nach und gibt den Sinus-Wert zurück, der dort zu dem der jeweiligen Winkel eingetragen ist.
Dabei hat er jedoch zwei Tabellen in die er schauen kann und man muss ihm deshalb vor dem Benutzen der Taschenrechner-Funktion "Sinus" die richtige Tabelle/Liste zuweisen:

a) Einmal gibt es eine Tabelle für x bezw. die [Gradzahl], so wie man es aus der Schule kennt, wo der volle Winkel, also ein Kreis, in 360 Stücke bezw. in die uns bekannten 360 Grad aufgeteilt wird.
Möchte man also mit der "schulischen" Winkeldefintion rechnen, wo der Kreis in 360 Stücke, die uns bekannten 360 Grad, aufgeteilt ist, so muss man mit der Taschenrechner-Funktion "DEG" (Abkürzung für das englische Wort "Degree", das auf Deutsch "Grad" bedeutet. Grad ist übrigens die Einheit) dem Taschenrechner vor dem Benutzen der Taschenrechner-Funktion "Sinus" anweisen IN DIE "Sinusliste" der zwei "Sinuslisten" zu schauen, wo jedem "schulischen Grad" der richtige Sinuswert zugeordnet ist. So "errechnet" der Taschenrechner dann unseren Sinus-Wert.


b) Dann gibt es, wie bereits erwähnt, eine zweite Tabelle bezw. "Sinusliste", wo der Sinuswert nicht dem schulischen [Grad] zugeordnet ist, sondern der Einheit [rad] (rad ist die Abkürzung für Radiant).

Dort ist der Kreis bezw. der volle Winkel von 360 Grad als Umfang des Kreises definiert und somit wird jeder Winkel als ein Stück des Kreisumfangs repräsentiert (siehe Bogenmaß).
Hinzuzufügen ist hier, dass man aus Vereinfachungsgründen nur den Einheitskreis (Radius überall ist 1) betrachtet, womit der Umfang des Kreises

[U = 2*PI*r = 2*PI*1 = 2*PI = 2*3,14 = 6,28]

ist.
Der Kreis und die sich darin befindenden 360 Grad sind also nicht in 360 Stücke, sondern in 6,28 Stücke aufgeteilt. Daher ist ein schulisches Grad im Bogenmaß -> 6,28/360= 0,017444...
(Zusätzliche Info: Bei der Aufteilung des Kreises in 360 Stücke hat man eine Einheit, man nennt diese Grad, wie aus der Schule bekannt. Da man auch bei der Aufteilung des Kreises in 6,28 Stücke eine Einheit wollte, hat man sich entschlossen die Einheit "rad" zu erfinden, somit ist der Kreis beim Bogenmaß also in 6,28 rad aufgeteilt. "Rad" ist wie bereits oben erwähnt eine Abkürzung für "Radiant".)

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Beispiel:

Man hat als Einstellung, ob gewollt oder aus Versehen (oder Standardeinstellung beim Taschenrechner), dem Taschenrechner bezüglich dessen Sinusfunktion die Einheit "rad" zugewiesen.
Man möchte nun den Sinus vom Winkel 45 Grad berechnen.

In die Sinusfunktion des Taschenrechners, die eigentlich fast immer so aussieht -> sin(x)
gibt man man nun den X-Wert bezw. die Gradzahl an -> sin(45)

Nun schaut der Taschenrechner in die Liste für die Einheit "rad" und liefert euch das FALSCHE ERGEBNIS FÜR DEN SINUS-WERT!
Ihr hattet nämlich der Taschenrechner-Funktion "Sinus" die Einheit und damit die Liste/Tabelle mit "rad" zugewiesen. Mit [sin(45)] habt ihr also [sin(45 rad)] und nicht [sin(45 Grad)] geschrieben und wie ihr von oben wisst, sind bereits 6,28 rad die vollen 360 Grad, ihr habt aber 45 rad eingegeben, was sehr viel mehr ist als 360 Grad!
Ihr habt also umgerechnet in die schulische Einheit Grad, mit 45 rad, 2579 Grad eingegeben.

Hättet Ihr mal lieber dem Taschenrechner für die Sinus-Funktion die richtige Tabelle zugewiesen, was in diesem Fall "DEG" für "Grad" anstatt "rad" wäre. smile


Fazit: Bevor ihr den Sinus am Taschenrechner berechnen wollt, müsst ihr für euch selbst festlegen, ob ihr den Winkel in dem schulischen [Grad] eingeben wollt oder in der Einheit [rad] und damit im Bogenmaß.
Wenn ihr das für euch selbst festgelegt habt, dann müsst ihr auch noch dem Taschenrechner mit "DEG" oder "RAD" mitteilen, ob die Zahl, die ihr bei der Sinusfunktion eingegeben habt, nun [Grad] oder [rad] sind.
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