Lebesgue Maß & Flächeninhalt

28.11.2016, 15:33

yellowman

Lebesgue Maß & Flächeninhalt

Hallo,

Angenommen ich habe die Menge $\begin{eqnarray*} A=\{-2\leq x\leq 2,y=x^3\} \end{eqnarray*}$ und ich möchte das Maß bestimmen.

$\begin{eqnarray*} \mu(A)=\int_{-2}^2\int_0^{x^3}1dydx=0 \end{eqnarray*}$

Also $\begin{eqnarray*} \mu(A)=0 \end{eqnarray*}$ und damit ist $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ eine Nullmenge.

Wenn man sich mal den Graph plottet so wird deutlich das ein Teil des Graphen unter und ein Teil über oberhalb der y-Achse ist. Nun müsste das Lebesgue Maß den Flächeninhalt im \mathbb R^2 entsprechen.
Wenn man sich den Graph anschaut besitzt der Graph und damit auch die Menge einen Flächeninhalt der ungleich Null ist. Bedeutet das,dass es einen Unterschied zwischen Flächeninhalt und Maß gibt und das Maß der Menge $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ eine Nullmenge ist aber der Flächeninhalt des Graphen nicht Null ist?

Weitere Frage:

Nun ist jede Teilmenge einer Nullmenge eine Nullmenge.

Eine Teilmenge von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ wäre doch $\begin{eqnarray*} B=\{-1\leq x\leq 2,y=x^3\} \end{eqnarray*}$

Das Maß von $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ ist allerdings nicht Null. Wo hackt es denn hier?

Viele Grüße!

28.11.2016, 15:41

IfindU

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RE: Lebesgue Maß & Flächeninhalt
Mir ist nicht einmal klar, was die Menge $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ sein soll. Ist $\begin{eqnarray*} A \subset \mathbb R \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} A \subset \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ . Meinst du $\begin{eqnarray*} A = \{ (x,y) \big |-2 \leq x \leq 2, y = x^3 \} \end{eqnarray*}$ ?

Dann ist $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ eine eindimensionale Kurve, der Graph selbst. Was du bei $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ ausrechnest, ist es die Fläche, die du im Text beschreibst. Diese Menge wäre $\begin{eqnarray*} A' = \{ (x,y) \big | -2 \leq x \leq 2, 0 \leq \mathrm{sgn}(x) y \leq |x|^3 \} \end{eqnarray*}$ .

Edit: Menge repariert, auch wenn sie nun etwas unangenehm aussieht.

28.11.2016, 15:49

HAL 9000

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Außerdem ist noch folgendes zu bedenken: Das obige iterierte Doppelintegral lässt sich nicht einfach in ein Flächenintegral $\begin{align*} \iint\limits_A \end{align*}$ transformieren. Tatsächlich ist nämlich

$\begin{align*} 0 = \int\limits_{-2}^2 \int\limits_0^{x^3} 1 ~ \dd y ~ \dd x = \int\limits_{-2}^0 \int\limits_0^{x^3} 1 ~ \dd y ~ \dd x ~+~ \int\limits_0^2 \int\limits_0^{x^3} 1 ~ \dd y ~ \dd x = -\int\limits_{-2}^0 \int\limits_{x^3}^0 1 ~ \dd y ~ \dd x ~+~ \int\limits_0^2 \int\limits_0^{x^3} 1 ~ \dd y ~ \dd x = -\iint\limits_{A_1} 1 ~ \dd y ~ \dd x ~+~ \iint\limits_{A_2} 1 ~ \dd y ~ \dd x = \mu(A_2) - \mu(A_1) \end{align*}$

mit

$\begin{align*} A_1 = \{ (x,y) \mid -2\leq x\leq 0,\, x^3\leq y\leq 0\} \end{align*}$ und $\begin{align*} A_2 = \{ (x,y) \mid 0\leq x\leq 2,\, 0\leq y\leq x^3\} \end{align*}$ .

Daraus kann $\begin{align*} \mu(A_1)=\mu(A_2) \end{align*}$ geschlossen werden, nicht aber (wie du vielleicht denkst) $\begin{align*} \mu(A_1\cup A_2)=0 \end{align*}$ . unglücklich

28.11.2016, 16:10

yellowman

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RE: Lebesgue Maß & Flächeninhalt
Hallo IfindU, die Darstellung der Menge $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ ist so korrekt wie du sie angegeben hast.

Also entspricht das Lebesgue-Maß dem Flächeninhalt der Menge $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ ?
Was sagt denn dann die Null aus in meiner naiven Berechnung?

Im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ entspricht das Lebesgue Maß einer Fläche und im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ entspricht dem Lebesgue Maß einem Volumen?

$\begin{eqnarray*} \mu(A)=\frac{1}{2}x^4|_0^2=\frac{1}{2}2^4=8 \end{eqnarray*}$

Dann wäre das Lebesgue Maß der Menge $\begin{eqnarray*} \mu(A)=8 \end{eqnarray*}$

@Hal9000, danke für deine Erklärung. Ich denke damit ist meine zweite Frage erledigt. Wenn man naiv die Menge einsetzt dann bekommt man natürlich eine Nullmenge herauß. Wenn man allerdings bedenkt, dass man die Menge A aufteilen kann mit

$\begin{eqnarray*} A=B\cup C \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A=\{(x,y)|-2\leq x\leq 0, y=x^3\}\cup\{(x,y)|0\leq x\leq 2,y=x^3\} \end{eqnarray*}$

Ich erhalte für das Maß konkret:

$\begin{eqnarray*} \mu(B)=-4 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mu(C)=4 \end{eqnarray*}$

Nun gilt: $\begin{eqnarray*} A=\mu(B\cup C)=\mu(B)+\mu(C)-\mu(B\cap C) \end{eqnarray*}$

Da der Schnitt leer ist bleibt übrig: $\begin{eqnarray*} A=\mu(B\cup C)=\mu(B)+\mu(C) \end{eqnarray*}$

Wenn ich das einsetze erhalte ich doch Null? verwirrt

Viele Grüße!

28.11.2016, 16:32

IfindU

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RE: Lebesgue Maß & Flächeninhalt
Deine naive Rechnung sagt aus, was HAL sagte: $\begin{eqnarray*} A_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} A_2 \end{eqnarray*}$ haben den gleichen Flächeninhalt.

Bei der anderen Sache sollten dir Alarmglocken aufgehen, wenn ein Flächeninhalt negativ wird. Dann ist dort etwas massiv schief gelaufen.

28.11.2016, 16:42

yellowman

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RE: Lebesgue Maß & Flächeninhalt
Ok, stimmt der Flächeninhalt darf nicht negativ sein. Ist das per Definition so das man sagt ein Flächeninhalt ist positiv?

Wie bekomme ich das Problem in dem Fall gelöst? Ich meine einfach den Betrag zu nehmen erscheint mir doch sehr gefuscht.

Abschließende Frage: Im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ entspricht das Lebesgue Maß einer Fläche und im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ entspricht dem Lebesgue Maß einem Volumen?

Viele Grüße!

28.11.2016, 16:42

HAL 9000

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@yellowman

Anscheinend bringst du außerdem schon wieder diese Dinge durcheinander:

In dem iterierten Doppelintegral oben berechnest du ja die Differenz zweier echter (d.h. mit positiven Maßzahlen) Flächen.

Deine Mengendefinitionen beschreiben aber erneut nur Kurven (d.h. eindimensional) im $\begin{align*} \mathbb{R}^2 \end{align*}$ , wie von IfindU richtig bemerkt. Dieses anhaltende Tohuwabohu solltest du mal dringend auflösen. unglücklich

D.h., geht es nun um "echte" Flächen wie $\begin{align*} \{ (x,y) \mid 0\leq x\leq 2,\, 0\leq y\leq x^3\} \end{align*}$ oder doch nur um die krumme Begrenzungslinie $\begin{align*} \{ (x,y) \mid 0\leq x\leq 2,\, y=x^3\} \end{align*}$ dieser Fläche? Erstaunt1

28.11.2016, 17:57

yellowman

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Entschuldigt für die Verwirrung. Es handelt sich hier um "echte" Flächen. Ich habe mir das Beispiel selbst aus dem Hut gezaubert. Das kommt davon wenn man darüber nachdenkt. smile

Abschließende Frage da dort noch nicht drauf eingegangen wurde.
Im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ entspricht das Lebesgue Maß einer Fläche und im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ entspricht dem Lebesgue Maß einem Volumen?

Viele Grüße!

29.11.2016, 10:06

IfindU

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Wenigstens ich war nicht darauf eingegangen, weil es immer wieder unklar war was du berechnen wolltest. Fangen wir mal rigoros an: Es gibt nicht "das" Lebesgue-Maß, es gibt viele, nämlich für jede Raumdimension ein eigenes. Also das (diesmal eindeutig) $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ -dimensionale Lebesguemaß $\begin{eqnarray*} \mathcal L^n \end{eqnarray*}$ bekommt eine Menge des $\begin{eqnarray*} \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ und gibt das $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ -dimensionale Hypervolumen der Menge. (Hypervolumen wäre Flächeninhalt für $\begin{eqnarray*} n = 2 \end{eqnarray*}$ , das traditonelle Volumen für $\begin{eqnarray*} n = 3 \end{eqnarray*}$ usw.)

Da deine Menge $\begin{eqnarray*} A,B \subset \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ , kannst du also nur das $\begin{eqnarray*} 2 \end{eqnarray*}$ -dimensionale Lebegue-Maß bestimmen, also die Fläche. Sprachlich sagt man gerne nur "das Lebesgue-Maß" weil alle analog definiert werden, und aus dem Kontext üblicherweise klar ist welche Raumdimension $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ hier relevant ist.

29.11.2016, 10:15

HAL 9000

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Zitat:

Original von IfindU
weil es immer wieder unklar war was du berechnen wolltest.

Und ist es eigentlich immer noch. Weswegen mich dieser Abbruch ein wenig verärgert, genau wie diese Nachfrage

Zitat:

Original von yellowman
Wie bekomme ich das Problem in dem Fall gelöst? Ich meine einfach den Betrag zu nehmen erscheint mir doch sehr gefuscht.

die doch deutlich zeigt, wie "gründlich" mein Beitrag oben mit der Erläuterung der Vorzeichenumkehr der Fläche wg. Vertauschung der Integrationsgrenzen gelesen wurde. unglücklich

29.11.2016, 14:07

yellowman

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Ich danke euch beiden damit ist meine Frage erledigt.

Viele Grüße!

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