Fourierreihe, Lösung nicht korrekt

28.11.2016, 20:44

Mathman91

Fourierreihe, Lösung nicht korrekt

Hallo,

ich habe folgende Angabe und soll daraus die Fourierreihe bilden (Siehe Bild:"Beispiel"):

Hier meine Lösung:

Zuerst habe ich "a0" ausgerechnet:

$\begin{eqnarray*} a0 = \frac{1}{\pi}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \! 1 \, dx +\frac{1}{\pi} \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \! 0 \, dx \end{eqnarray*}$

Für a0 habe ich 1/2 heraus bekommen.

Für :

a1 habe ich 1/Pi.
a2 = 0
a3 = -0,33/Pi
a4 = 0

Für bn habe ich:

b1 = -1/Pi
b2 = 0
b3 = -0,33/Pi

Nun frage ich mich ob das Stimmt?

Lösung aus dem Lösungsbuch:

$\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{1}{4} +\frac{1}{\pi}*\left(\frac{cosx}{1} -\frac{cos3x}{3} +\frac{cos5x}{5}... \right)+\frac{1}{\pi}*\left(\frac{sinx}{1} +\frac{sin2x}{1}+\frac{sin3x}{3}... \right) \end{eqnarray*}$

29.11.2016, 08:50

klarsoweit

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RE: Fourierreihe lösung nicht korrekt
Das ganze steht und fällt mit der Angabe der Funktion, von der du die Fourierkoeffizienten bestimmen willst. Im Moment sehe ich nämlich nicht, daß diese 2pi-periodisch ist. Demgegenüber ist die Lösung aus dem Lösungsbuch 2pi-periodisch.

29.11.2016, 18:59

Mathman91

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Ich werde mir das diese Woche noch einmal anschauen.

MfG

01.12.2016, 19:35

Mathman91

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Sorry, ich habe vergessen das Foto hochzuladen.

Hier nun das Beispiel als Bild angefügt.
Anbei auch die Lösung aus dem Lösungsbuch als Bild.

Hier meine Lösung:

$\begin{eqnarray*} a0 = 2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a1 = \frac{1}{\pi} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a2 = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a3 = -\frac{0,33}{\pi} = -\frac{1}{3\pi} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a4 = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b1 = -\frac{1}{\pi} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} b2 = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} b3 = -\frac{0,33}{\pi} = -\frac{1}{3\pi} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} b4 = -\frac{0,5}{\pi} = -\frac{1}{2\pi} \end{eqnarray*}$

Stimmt die Lösung von mir?

MfG

01.12.2016, 19:39

Mathman91

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Hier die Bilder:

02.12.2016, 10:15

klarsoweit

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Zitat:

Original von Mathman91
Zuerst habe ich "a0" ausgerechnet:

$\begin{eqnarray*} a0 = \frac{1}{\pi}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \! 1 \, dx +\frac{1}{\pi} \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \! 0 \, dx \end{eqnarray*}$

Für a0 habe ich 1/2 heraus bekommen.

Das Ergebnis ist korrekt, aber das Integral muß so lauten: $\begin{eqnarray*} a_0 = \frac{1}{\pi}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \! 1 \, dx +\frac{1}{\pi} \int_{\frac{\pi}{2}}^{2\pi} \! 0 \, dx \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Mathman91
$\begin{eqnarray*} a0 = 2 \end{eqnarray*}$

Wie oben schon festgestellt ist a_0 = 1/2 .

Zitat:

Original von Mathman91
$\begin{eqnarray*} a1 = \frac{1}{\pi} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a2 = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a3 = -\frac{0,33}{\pi} = -\frac{1}{3\pi} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a4 = 0 \end{eqnarray*}$

Ich weiß nicht, wie du gerechnet hast, aber diese Koeffizienten müssen noch durch 2 dividiert werden.

Zitat:

Original von Mathman91
$\begin{eqnarray*} b1 = -\frac{1}{\pi} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} b2 = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} b3 = -\frac{0,33}{\pi} = -\frac{1}{3\pi} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} b4 = -\frac{0,5}{\pi} = -\frac{1}{2\pi} \end{eqnarray*}$

Diese Ergebnisse kann ich zum einen nicht nachvollziehen und zum anderen haben sie auch nichts mit deiner geposteten Funktion f(x) zu tun. verwirrt

02.12.2016, 16:07

Mathman91

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O.K.

Bei dieser Funktion handelt es sich weder um eine gerade noch eine ungerade Funktion.

a0 = 1/2 stimmt, da habe ich mich verschrieben, sorry.

Nun habe ich die "an" ausgerechnet:

$\begin{eqnarray*} an = \frac{1}{\pi} *\int_{0}^{\frac{\pi }{2} } \! f(x)*cos(nx) \, dx \end{eqnarray*}$

Da ja die Funktion von Pi/2 bis 2Pi gleich 0 ist, fällt der Teil des Integrals von Pi/2 bis 2Pi weg.

Somit kann ich die ganzen "a" so berechnen:

$\begin{eqnarray*} an = \frac{1}{\pi}*\left(\frac{sin(n*\frac{\pi}{2})}{n} \right) \end{eqnarray*}$

Setze ich ein, komme ich auf das Ergebnis was ich gestern gepostet habe.

Für "bn" sieht das so aus bei mir:

$\begin{eqnarray*} bn = -\frac{1}{\pi}*\left(\frac{cos(n*\frac{\pi}{2})}{n} \right)+\left(\frac{cos(n0)}{n} ) \right) \end{eqnarray*}$

Was habe ich da falsch gemacht?

02.12.2016, 17:14

Steffen Bühler

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Du hast $\begin{align*} \int_0^{2\pi}(f(x) \cdot \sin nx) dx= \int_0^{\frac {\pi}2}(1 \cdot \sin nx) dx+ \int_{\frac {\pi}2}^{2\pi}(0 \cdot \sin nx) dx \end{align*}$ nicht richtig integriert. Das zweite Integral ist doch immer Null! Siehst Du das?

Viele Grüße
Steffen

02.12.2016, 19:31

klarsoweit

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Zitat:

Original von Mathman91
Nun habe ich die "an" ausgerechnet:

$\begin{eqnarray*} an = \frac{1}{\pi} *\int_{0}^{\frac{\pi }{2} } \! f(x)*cos(nx) \, dx \end{eqnarray*}$

Warum nicht $\begin{eqnarray*} a_n = \frac{1}{2\pi} \cdot \int_{0}^{\frac{\pi }{2} } \! f(x)*cos(nx) \, dx \end{eqnarray*}$ ?

Zitat:

Original von Mathman91
Für "bn" sieht das so aus bei mir:

$\begin{eqnarray*} bn = -\frac{1}{\pi}*\left(\frac{cos(n*\frac{\pi}{2})}{n} \right)+\left(\frac{cos(n0)}{n} ) \right) \end{eqnarray*}$

Was habe ich da falsch gemacht?

Hm. Also bei mir heißt es: $\begin{eqnarray*} b_n = -\frac{1}{2\pi} \cdot \left(\frac{cos(n*\frac{\pi}{2})}{n} - \frac{cos(n0)}{n} \right) \end{eqnarray*}$

@Steffen Bühler: prinzipiell hat doch Mathman91 bis pi/2 integriert, oder sehe ich das falsch?

05.12.2016, 10:18

Steffen Bühler

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Um das hier mal abzuschließen: wir haben alle drei kleine Fehler gemacht. smile

Meinen Einwand kann man völlig streichen, sorry.

Dennoch lauten die benötigten Fourierformeln hier

$\begin{align*} a_n = \frac 1 {\pi} \int_0^{2 \pi} f(x) \cos nx dx \end{align*}$

und

$\begin{align*} b_n = \frac 1 {\pi} \int_0^{2 \pi} f(x) \sin nx dx \end{align*}$

Es steht also durchaus der Faktor $\begin{align*} \frac 1 {\pi} \end{align*}$ und nicht $\begin{align*} \frac 1 {2\pi} \end{align*}$ davor. Nur so kommt auch die richtige Pulsfunktion heraus. Allerdings nur, wenn der erwähnte Vorzeichenfehler behoben wird.

Viele Grüße
Steffen

05.12.2016, 10:51

klarsoweit

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Zitat:

Original von Steffen Bühler
Um das hier mal abzuschließen: wir haben alle drei kleine Fehler gemacht. smile

Danke, daß du nochmal draufgeschaut hast. Manchmal muß man sich mit der flachen Hand ... Finger1

@Mathman91: die a-Koeffizienten sind also ok. Für die b-Koeffizienten gilt:

$\begin{eqnarray*} b_n = -\frac{1}{\pi} \cdot \left(\frac{cos(n*\frac{\pi}{2})}{n} - \frac{cos(n0)}{n} \right) \end{eqnarray*}$

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