Der endliche Körper F9. Basis/Basiswechsel/Homomorphismus

29.11.2016, 12:57	PhillyMathe	Auf diesen Beitrag antworten »
Der endliche Körper F9. Basis/Basiswechsel/Homomorphismus Meine Frage: Hi, ich würde gerne zu dieser Aufgabenfolge meine Lösungen präsentieren und gerne darüber diskutieren, bzw. auf Richtigkeit prüfen. [attach]43114[/attach] [attach]43115[/attach] [attach]43116[/attach] Meine Ideen: Aufgabe 3. a) {0,1,2} ist Unterkörper von $\begin{eqnarray} \Im_{9} \end{eqnarray}$ a.1.) ({0,1,2}, +) ist Untergruppe von ( $\begin{eqnarray} \Im_{9} \end{eqnarray}$ , +) => $\begin{eqnarray} \forall a,b =>a + b^{-1} \in \end{eqnarray}$ {0,1,2} a.2.) ({0,1,2}, ) ist Untergruppe von ( $\begin{eqnarray} \Im_{9} \end{eqnarray}$ , ) => $\begin{eqnarray} \forall a,b =>a b^{-1} \in \end{eqnarray}$ {0,1,2} a.1. und a.2. sieht man direkt anhand der Additions bzw. Multiplikationstabelle. b.) {0,1,2} ist Isomorph zu $\begin{eqnarray} \Im_{3} \end{eqnarray}$ das ist der Fall falls man f: {0,1,2} -> $\begin{eqnarray} \Im_{3} \end{eqnarray}$ so wählt, dass 0 -> [0] 1 -> [1] 2 -> [2] Man muss dann zeigen, dass diese Abbildung einen Körperhomomorphismus darstellt. Das lasse ich jetzt aber weg. c) Ich habe nun einen $\begin{eqnarray} \Im_{3} \end{eqnarray}$ - Vektorraum $\begin{eqnarray} \Im_{9} \end{eqnarray}$ Wenn ich nun eine Basis von $\begin{eqnarray} \Im_{9} \end{eqnarray}$ angeben will. Muss ich zeigen. Sei S $\begin{eqnarray} \subset \Im_{9} \end{eqnarray}$ , dann ist S Basis falls: c1) S ist Erzsystem c2) S ist linear unabhängig. zu c1) d.h. ich muss schauen ob der Spann von S = $\begin{eqnarray} \Im_{9} \end{eqnarray}$ ist. Wähle ich für S=(1,a), und kann dann jeden Vektor $\begin{eqnarray} \in \Im_{9} \end{eqnarray}$ durch eine Linearkombination aus s1,...,sn $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ S und k1,...,kn $\begin{eqnarray} \in \Im_{3} \end{eqnarray}$ darstellen dann ist S Erzsystem von $\begin{eqnarray} \Im_{9} \end{eqnarray}$ 0 = 01+0a 1 = 11+01 2 = 21+0a a= 01+1a b= 11+1a c=21+1a d= 01+2a e=21+1a f=21+2a Also ist S Erzsystem. c2) Da ich 1 nicht als Linkomb von ka und a nicht als Linkomb von k*1 schreiben kann, ist die Menge l.u. => Also ist S Basis = > Dim(S) = \|S\| = 2 . Aufgabe 4 würde ich gerne nach Feedback behandeln. Liebe Grüße
29.11.2016, 13:09	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
a) In der additiven Gruppe muss gelten $\begin{eqnarray} \forall x,y\in \mathbb F_3: x-y\in \mathbb F_3 \end{eqnarray}$ . a,b würde ich hier nicht empfehlen, weil a und b Elemente von $\begin{eqnarray} \mathbb F_9 \end{eqnarray}$ sind. Genauso für die multiplikative Gruppe. b) Homomorphismus muss man nicht zeigen. Sage einfach, dass diese Abbildung ein Isomorphismus ist, weil sich die beiden Körper nur durch die Bezeichnung ihrer Elemente unterscheiden. c) ist in Ordnung.
29.11.2016, 15:26	PhillyMathe	Auf diesen Beitrag antworten »
Zur Aufgabe 4: Zunächst mal zum Aufgabenteil b) Ich weiß nicht so richtig was ich machen soll. MatBB(ga) induziert erstmal eine Abbildung i) l -> al Matt(BB)(ge) induziert eine Abbildung ii) l -> el und jetzt mmuss ich für die Matrixdarstellung die Basisvektoren (1,a) in die Funktion einsetzen also habe ich i) a1 ii) aa= a^2 und a ist nichts anderes als 01+1a also habe ich die erste Spalte (0,1) da a^2= aa = e ist muss ich e als linkomb der basisvektoren (1,a) darstlelen also e = 11+2*a also die zweite spalte (1,2) Bin ich auf dem richtigen Weg?
29.11.2016, 19:49	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Auf dem richtigen Weg - im Prinzip ja. ABER ABER ABER : Lesen müsste man können, dann könnte man lesen e=21+1a und das ist überhaupt und gar nicht gleich e=11+2a - und das hast du in deinem ersten Beitrag als Basisdarstellung von e angegeben (korrigiere den alten Fehler, dann passt es).

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »