Stetigkeit (Epsilon-Delta)

29.11.2016, 13:28

Mathe<3

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Stetigkeit (Epsilon-Delta)

Meine Frage:
Hallo Leute, habe folgende Aufgabe(siehe Bild)

Es geht um die a)

Meine Ideen:
Also erstmal die Definition die da aufgeschrieben wurde ist für mich falsch.
Die Definition ist doch diese :

$\begin{eqnarray*} \forall \epsilon >0 \exists \delta>0 : |x-x_0| < \delta \Rightarrow |f(x)-f(x_0) | < \epsilon \end{eqnarray*}$

so kenne ich die Definition und damit will ich auch arbeiten.

Also erstmal betrachten wir x0 = 0. so gilt :

sei epsilom >0 und wähle für Delta = $\begin{eqnarray*} \sqrt{\epsilon} * x^2 \end{eqnarray*}$

also ist 0 < x < delta so gilt :

$\begin{eqnarray*} |f(x)-f(x0) | = | x^{2} -0| = x^{2} < \sqrt{\epsilon^2} *x^2 < \sqrt{\epsilon^2} = \epsilon \end{eqnarray*}$

stimmt das erstmal für x0 = 0 ?

EDIT: Latex verbessert (klarsoweit)

29.11.2016, 14:01

klarsoweit

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RE: Stetigkeit (Epsilon-Delta)

Zitat:

Original von Mathe<3
Also erstmal die Definition die da aufgeschrieben wurde ist für mich falsch.
Die Definition ist doch diese :

$\begin{eqnarray*} \forall \epsilon >0 \exists \delta>0 : |x-x_0| < \delta \Rightarrow |f(x)-f(x_0) | < \epsilon \end{eqnarray*}$

so kenne ich die Definition und damit will ich auch arbeiten.

Also ich sehe nicht, daß die Definition in der Aufgabe falsch ist. Da steht doch im Prinzip nichts anderes als das, was du geschrieben hast. verwirrt

verwirrt

Zitat:

Original von Mathe<3
sei epsilom >0 und wähle für Delta = $\begin{eqnarray*} \sqrt{\epsilon} * x^2 \end{eqnarray*}$

Möglicherweise meinst du $\begin{eqnarray*} \delta = \sqrt{\epsilon} \end{eqnarray*}$ ?

Zitat:

Original von Mathe<3
also ist 0 < x < delta so gilt :

$\begin{eqnarray*} |f(x)-f(x0) | = | x^{2} -0| = x^{2} < \sqrt{\epsilon^2} *x^2 < \sqrt{\epsilon^2} = \epsilon \end{eqnarray*}$

Richtig ist: $\begin{eqnarray*} |f(x)-f(x_0) | = |x^2 -0| = x^2 < \delta^2 = \epsilon \end{eqnarray*}$

29.11.2016, 14:07

Mathe<3

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RE: Stetigkeit (Epsilon-Delta)
Ja genau so hatte ich es für x=0 eigentlich gemacht eben aber dann habe ich mir überlegt

$\begin{eqnarray*} x^2 < delta^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^2 < delta^2 =\sqrt{epsilon^2} \end{eqnarray*}$

das stimmt doch gar nicht. Also x^2 ist ja nicht kleiner als die wurzel von einer zahl zum Quadrat.
Bzw. 0<x<delta würde ja indem fall auch nicht stimmen.

wegen 0< x^2 < delta= sqrt(epsion) stimmt ja nicht..

29.11.2016, 14:19

klarsoweit

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RE: Stetigkeit (Epsilon-Delta)
Ehrlich gesagt, ich weiß nicht, was du mir da sagen willst. Was genau soll denn jetzt nicht stimmen? Und was willst du vor allem mit

Zitat:

Original von Mathe<3
Also x^2 ist ja nicht kleiner als die wurzel von einer zahl zum Quadrat.

sagen? Was sollte dagegen sprechen?

29.11.2016, 14:21

Mathe<3

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RE: Stetigkeit (Epsilon-Delta)
Das war nur ein missverständis hat sich geklärt Freude

Freude

wie soll ich nun delta wählen für x0>0 ?

29.11.2016, 14:26

klarsoweit

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RE: Stetigkeit (Epsilon-Delta)
Ähh, ich wollte jetzt nicht deine Arbeit machen. Gibt es denn ein spezielles Problem?

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29.11.2016, 14:32

Mathe<3

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RE: Stetigkeit (Epsilon-Delta)
ja wie soll ich das Delta wählen damit es für x0= 0 gilt ?

Das ist mein Problem Big Laugh

Big Laugh

29.11.2016, 15:05

klarsoweit

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RE: Stetigkeit (Epsilon-Delta)

Zitat:

Original von Mathe<3
wie soll ich nun delta wählen für x0>0 ?

Zitat:

Original von Mathe<3
ja wie soll ich das Delta wählen damit es für x0= 0 gilt ?

Was denn jetzt?

29.11.2016, 15:54

Mathe<3

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RE: Stetigkeit (Epsilon-Delta)
Ja ich meine natürlich x>0 Freude

Freude

29.11.2016, 16:05

klarsoweit

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RE: Stetigkeit (Epsilon-Delta)
Nee, eher wohl x_0 > 0 oder vielleicht auch x_0 ungleich Null.

Nun denn. Du mußt halt ein delta finden, so daß $\begin{eqnarray*} |f(x) - f(x_0)| = |x^2 - x_0^2| < \epsilon \end{eqnarray*}$ ist, wenn $\begin{eqnarray*} |x - x_0| < \delta \end{eqnarray*}$ ist.

Tipp: bei $\begin{eqnarray*} x^2 - x_0^2 \end{eqnarray*}$ sollte eine binomische Formel ins Auge fallen.

29.11.2016, 16:21

Mathe<3

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RE: Stetigkeit (Epsilon-Delta)
Okay also :

$\begin{eqnarray*} |f(x)-f(x_{0}| = |x^{2} -x_{0}^{2}| = |x+x_{0}| * |x-x_{0}| < delta |x+x_{0}| \end{eqnarray*}$

und nun verwirrt

verwirrt

29.11.2016, 16:49

HAL 9000

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Weiter nach oben abschätzen, indem auch aus dem anderen Faktor das $\begin{align*} x \end{align*}$ eliminiert wird: Gemäß Dreiecksungleichung gilt

$\begin{align*} |x+x_0| = |2x_0+(x-x_0)| \leq |2x_0| + |x-x_0| < 2|x_0|+\delta \end{align*}$ .

29.11.2016, 17:37

Mathe<3

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Aber weshalb wollen wir das ? weshalb wollen wir das das x eliminiert wird ?

Ich würde dann mit PQ Formel

delta1,2= -|x0| +- $\begin{eqnarray*} \sqrt{|x_{0}|^2+epsilon} \end{eqnarray*}$

also Betrachen wir nur das Positive und wählen Delta.

29.11.2016, 19:02

HAL 9000

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Zitat:

Original von Mathe<3
Aber weshalb wollen wir das ?

Weil wir eine Formel für $\begin{align*} \delta \end{align*}$ wollen, in der nur noch $\begin{align*} x_0 \end{align*}$ und $\begin{align*} \epsilon \end{align*}$ auftauchen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ich würde übrigens eher $\begin{align*} \delta=\min\left\{ |x_0|, \frac{\epsilon}{3|x_0|}\right\} \end{align*}$ wählen. Mit einer genauen Auflösung derartiger Ungleichungen nach $\begin{align*} \delta \end{align*}$ ist man nämlich bei komplizierteren Funktionen rasch am Ende. Augenzwinkern

Augenzwinkern

29.11.2016, 19:17

Mathe<3

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verstehe ich nicht ganz warum würdest du das jetzt so wählen ?
ist denn meins falsch ?

Und was würdest du zu der b) sagen ?

Ich weiß das die Funktion auf R nicht gleichmäßig stetig ist aber wie kann ich das Beweisen ? verwirrt

verwirrt

Ein Gegenbeispiel Finden aber finde leider kein passendes

30.11.2016, 09:26

klarsoweit

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Zitat:

Original von Mathe<3
verstehe ich nicht ganz warum würdest du das jetzt so wählen ?

Weil dann einfach folgendes gilt:

$\begin{eqnarray*} |x - x_0| < \delta \Rightarrow |x^2 - x_0^2| = |x - x_0| \cdot |x + x_0| = |x - x_0| \cdot |2x_0 + (x-x_0) | \leq |x - x_0| \cdot (2|x_0| + |x - x_0|) < |x - x_0| \cdot (2|x_0| + \delta) \leq |x - x_0| \cdot (2|x_0| + |x_0|) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} < \delta \cdot 3|x_0| \leq \frac{\epsilon}{3|x_0|} \cdot 3|x_0| = \epsilon \end{eqnarray*}$

Ob du das mit deinem delta genauso gut hinbekommst, mußt du dich selber fragen. smile

smile

EDIT: kleinere formale Korrektur: <= statt < an 2 Stellen angepaßt.

30.11.2016, 09:44

Mathe<3

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Ich verstehe nur nicht diesen schritt (siehe Bild)

Wie kommt man drauf das die Linke Seite kleiner ist als die Rechte ?

Eine andere Frage bei x0=0 Könnte ich ja auch Delta so wählen delta =Epsilon/x oder ?

Und wegen der Gleichmäßigstetigkeit :

Ich weiß das x^2 in R nicht Gleichmäßig stetig ist. Gleichmäßig stetig bedeutet ja quasi es ist egal wie ich mein x0 wähle und mein Epsilon es gibt immer ein Delta dazu.
Weil zb für epsilon = 1 gibt es kein Delta>0 für x=1/ delta und x0= x+delta/2
stimmt das?

Und wie schreibt man in Matheboard die Buchstaben Delta und epsilon?

30.11.2016, 09:52

HAL 9000

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Zitat:

Original von Mathe<3
Wie kommt man drauf das die Linke Seite kleiner ist als die Rechte ?

Durch die Festlegung $\begin{align*} \delta=\min\left\{ |x_0|, \frac{\epsilon}{3|x_0|}\right\} \end{align*}$ gilt einerseits $\begin{align*} \delta\leq |x_0| \end{align*}$ als auch andererseits $\begin{align*} \delta \leq \frac{\epsilon}{3|x_0|} \end{align*}$ . Aus ersterem kann man $\begin{align*} 2|x_0|+\delta < 3|x_0| \end{align*}$ folgern, aus letzterem $\begin{align*} \delta\cdot 3|x_0| < \epsilon \end{align*}$ , und beides wird in der von klarsoweit oben dargelegten Ungleichungskette ja benutzt.

Zitat:

Original von Mathe<3
Ich weiß das die Funktion auf R nicht gleichmäßig stetig ist aber wie kann ich das Beweisen ?

Z.B. indirekt: Angenommen, $\begin{align*} f \end{align*}$ ist gleichmäßig stetig auf ganz $\begin{align*} \mathbb{R} \end{align*}$ , dann muss es für jedes $\begin{align*} \epsilon>0 \end{align*}$ ein $\begin{align*} \delta>0 \end{align*}$ geben, so dass für alle reellen $\begin{align*} x,x_0 \end{align*}$ mit $\begin{align*} |x-x_0|<\delta \end{align*}$ die Ungleichung $\begin{align*} |f(x)-f(x_0)|<\epsilon=1 \end{align*}$ gilt. Wähle z.B. speziell $\begin{align*} x=x_0+\frac{\delta}{2} \end{align*}$ (oder irgend einen anderen konstanten Abstand zwischen beiden, der wie gefordert kleiner als $\begin{align*} \delta \end{align*}$ ist) und betrachte für $\begin{align*} x_0\to\infty \end{align*}$ die Differenz $\begin{align*} \left| f(x)-f(x_0) \right| \end{align*}$ ...

Das wäre der "elementare" Weg. Generell kann man bei stetig differenzierbaren Funktionen den Mittelwertsatz heranziehen: Laut dem gibt es ja einen Wert $\begin{align*} \xi \end{align*}$ zwischen $\begin{align*} x \end{align*}$ und $\begin{align*} x_0 \end{align*}$ mit $\begin{align*} f(x)-f(x_0) = f'(\xi)\cdot (x-x_0) \end{align*}$ . Ist nun die Ableitung $\begin{align*} f' \end{align*}$ unbeschränkt, dann kann $\begin{align*} f \end{align*}$ auch nicht gleichmäßig stetig sein.

Zitat:

Original von Mathe<3
Und wie schreibt man in Matheboard die Buchstaben Delta und epsilon?

Nutze den "Zitat"-Button unter den jeweiligen Beiträgen.

EDIT: Sorry, habe ich zu spät gelesen:

Zitat:

Original von Mathe<3
Weil zb für epsilon = 1 gibt es kein Delta>0 für x=1/ delta und x0= x+delta/2

Ja, wegen

$\begin{align*} f(x_0)-f(x) = \left(\frac{1}{\delta}+\frac{\delta}{2}\right)^2 - \frac{1}{\delta^2} = 1+\frac{\delta^2}{4} > 1 \end{align*}$

passt dieses Gegenbeispiel. Freude

Freude

30.11.2016, 10:02

klarsoweit

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Zitat:

Original von Mathe<3
Wie kommt man drauf das die Linke Seite kleiner ist als die Rechte ?

Weil man $\begin{eqnarray*} \delta = min\left(|x_0|; \frac{\epsilon}{3|x_0|} \right) \end{eqnarray*}$ gewählt hat. Offensichtlich ist dann in jedem Fall $\begin{eqnarray*} x_0| \geq \delta \end{eqnarray*}$ . smile

smile

(Korrekterweise müßte da allerdings ein "<=" stehen.)

Zitat:

Original von Mathe<3
Eine andere Frage bei x0=0 Könnte ich ja auch Delta so wählen delta =Epsilon/x oder ?

Dann wäre das delta von x abhängig. Das geht nicht.

Zitat:

Original von Mathe<3
Gleichmäßig stetig bedeutet ja quasi es ist egal wie ich mein x0 wähle und mein Epsilon es gibt immer ein Delta dazu.

Das ist falsch oder zumindest ungenau. Bei der gleichmäßigen Stetigkeit darf das delta nicht auch von x_0 abhängig sein.

Beim Beweis, daß f(x) = x² nicht gleichmäßig stetig ist, würde ich vermutlich zu einem Widerspruchsbeweis greifen. Im Moment habe ich da leider keine weiteren Überlegungen gemacht.

Zitat:

Original von Mathe<3
Und wie schreibt man in Matheboard die Buchstaben Delta und epsilon?

Du kannst auf "Zitat" klicken, um an den Latexcode zu kommen.
delta = \delta
epsilon = \epsilon

EDIT: HAL 9000 war schneller. traurig

traurig

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