Ableitung mit ln und p im Nenner

29.11.2016, 15:42

minx

Ableitung mit ln und p im Nenner

Meine Frage:
Guten Tag!!

Ich versuche folgende Funktion abzuleiten

G(p)=150p+50p*ln(100/p-1)-2000-500*ln(100/p-1)

Dass P in der Potenz steht und das ln davor ist verwirrt mich aber extrem. Ich weiß leider nicht wie ich weiter rechnen soll.

Meine Ideen:
Soweit bin ich nun gekommen:
G'(p)=150+50(????)-500(????)

Was mache ich mit dem ln? Beeinflusst die Rechnung irgendwie? Und wie leite ich das p im Nenner ab?

Vielen Dank im voraus!

29.11.2016, 15:52

adiutor62

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RE: Ableitung mit ln und p im Nenner
Du brauchst die Produktregel beim 2. Summanden.

Die Ableitung des ln ist: $\begin{eqnarray*} 1/(100/p-1)*(-1/p^2) \end{eqnarray*}$

29.11.2016, 15:52

klarsoweit

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RE: Ableitung mit ln und p im Nenner

Zitat:

Original von minx
G(p)=150p+50p*ln(100/p-1)-2000-500*ln(100/p-1)

Wir müssen erst mal schauen, wie die Funktion aussieht:

$\begin{eqnarray*} G(p) = 150p + 50p \cdot ln(\frac{100}{p} - 1) - 2000 - 500 \cdot ln(\frac{100}{p} - 1) \end{eqnarray*}$

Ich sehe jetzt aber nicht, wo p in der "Potenz" steht, bzw. mir ist nicht klar, was damit gemeint ist.

29.11.2016, 16:57

minx

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Vielen Dank für die schnelle Antwort!

Ich hab da wohl P im Nenner gemeint und nicht Potenz...Tut mir led für den Fehler.

Darf ich einmal fragen wo die $\begin{eqnarray*} \frac{-1}{p^{2} } \end{eqnarray*}$ herkommt??

Ich habe in den Lösungen mal nachgeguckt und folgendes stand da

$\begin{eqnarray*} 150+50ln(\frac{100}{p}-1)+50p(\frac{1}{\frac{100}{p} }-1 )*(-100p^{-2}) -500(\frac{1}{\frac{100}{p} }-1 )*(-100p^{-2}) \end{eqnarray*}$

Jetzt ist da auf einmal das p bei der 50 da (vielleicht als Zwischenschritt um die Rechnung besser nachzuvollziehen?) und die Ableitung von ln ist am Ende der Rechnung? Kann man das einfach so machen?

30.11.2016, 09:00

klarsoweit

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Zitat:

Original von minx
Ich habe in den Lösungen mal nachgeguckt und folgendes stand da

$\begin{eqnarray*} 150+50ln(\frac{100}{p}-1)+50p(\frac{1}{\frac{100}{p} }-1 )*(-100p^{-2}) -500(\frac{1}{\frac{100}{p} }-1 )*(-100p^{-2}) \end{eqnarray*}$

Na ja, da hast du aber die Lösung nicht richtig abgeschrieben.

Die eigentliche und grundsätzliche Frage ist aber, welche Kenntnisse der Differentialrechnung du überhaupt mitbringst. Mir scheint, da ist nicht viel. Nun denn.

Bei der Ableitung von $\begin{eqnarray*} 50p \cdot ln(\frac{100}{p} - 1) \end{eqnarray*}$ brauchst du als erstes die Produktregel. Dann hast du es bei der ln-Funktion mit einer verschachtelten Funktion zu tun. Bei der Ableitung einer verschachtelten Funktion kommt noch die Kettenregel zur Anwendung. Diese verlangt, daß die Ableitung der äußeren Funktion noch mit der Ableitung der inneren Funktion multipliziert wird.

Konkret sieht das bei $\begin{eqnarray*} ln(\frac{100}{p} - 1) \end{eqnarray*}$ so aus: wir setzen die innere Funktion $\begin{eqnarray*} \frac{100}{p} - 1 =: hugo \end{eqnarray*}$ . Nun ist die Ableitung von ln(hugo) = 1/hugo . Die Ableitung von hugo wiederum ist $\begin{eqnarray*} -100p^{-2} \end{eqnarray*}$ .

Insgesamt ist also die Ableitung von $\begin{eqnarray*} ln(\frac{100}{p} - 1) \end{eqnarray*}$ gleich $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\frac{100}{p} - 1} \cdot (-100p^{-2}) \end{eqnarray*}$ .

02.12.2016, 11:55

minx

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Hallo nochmal,

ich bin interdisziplinäre Wirtschaftsstudentin, ich hab Semester wo ich gar nicht rechnen muss und dann wieder Semester, wo ich mein ganzes Wissen nochmal auffrischen muss. Tut mir leid, falls ich sehr simple Fragen stelle...

Das sind die Lösungen zu der Aufgabe gewesen.

$\begin{eqnarray*} G'=150+50ln(\frac{100}{p} -1)-500p^{-1} *(\frac{100}{p}-1)^{-1} +500p^{-2}*(\frac{100}{p} -1)^{-1} \end{eqnarray*}$

Kann es sein, dass die Rechnung nicht stimmt?

Wenn man die Produktregel anwendet, müsste die Ableitung von $\begin{eqnarray*} ln(\frac{100}{p}-1) \end{eqnarray*}$ nicht $\begin{eqnarray*} (\frac{1}{\frac{100}{p} } -1)*ln(-100p^{-2} ) \end{eqnarray*}$ lauten?? Die Produktregel lautet ja u'*v + u* v'...

Vielen Dank für eure Hilfe!!

02.12.2016, 12:16

klarsoweit

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Zitat:

Original von minx
Das sind die Lösungen zu der Aufgabe gewesen.

$\begin{eqnarray*} G'=150+50ln(\frac{100}{p} -1)-500p^{-1} *(\frac{100}{p}-1)^{-1} +500p^{-2}*(\frac{100}{p} -1)^{-1} \end{eqnarray*}$

Das sieht jetzt aber anders aus als:

Zitat:

Zitat:

Original von minx
ich bin interdisziplinäre Wirtschaftsstudentin, ich hab Semester wo ich gar nicht rechnen muss und dann wieder Semester, wo ich mein ganzes Wissen nochmal auffrischen muss. Tut mir leid, falls ich sehr simple Fragen stelle...

Kein Problem. Für uns ist es hilfreich, wenn wir Hintergründe und Zusammenhänge kennen. smile

Zitat:

Original von minx
Wenn man die Produktregel anwendet, müsste die Ableitung von $\begin{eqnarray*} ln(\frac{100}{p}-1) \end{eqnarray*}$ nicht $\begin{eqnarray*} (\frac{1}{\frac{100}{p} } -1)*ln(-100p^{-2} ) \end{eqnarray*}$ lauten?? Die Produktregel lautet ja u'*v + u* v'...

Bei der Ableitung von $\begin{eqnarray*} ln(\frac{100}{p}-1) \end{eqnarray*}$ ist die Kettenregel ausschlaggebend, nicht die Produktregel. Als erstes ist da der ln abzuleiten. Und die Ableitung von ln(...) ergibt $\begin{eqnarray*} \frac{1}{...} \end{eqnarray*}$ . Das muß dann noch mit der Ableitung der inneren Funktion multipliziert werden. Somit ergibt das insgesamt:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\frac{100}{p} - 1} \cdot (-100p^{-2}) \end{eqnarray*}$

02.12.2016, 14:04

minx

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Super, vielen Dank für die Antwort! smile

Die Lösungen sind (laut Notizen) zusammen gefasst. Das letzte Ergebnis sollte die Endfassung sei.

Jetzt habe ich allerdings noch mehr fragen Erstaunt1

Nämlich:

1) Sollte das ln von 50ln in der Ableitung laut der Kettenregel nicht verschwinden? In der Lösung ist sie aber immer noch da. Ich hätte jetzt gesagt da müsste $\begin{eqnarray*} 50(\frac{1}{\frac{100}{p} }-1) \end{eqnarray*}$ hin...

2)Woher kommt das $\begin{eqnarray*} 500p^{-2} *(\frac{100}{p} -1)^{-1} \end{eqnarray*}$ ?

02.12.2016, 14:54

klarsoweit

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Zitat:

Original von minx
Die Lösungen sind (laut Notizen) zusammen gefasst. Das letzte Ergebnis sollte die Endfassung sei.

OK, ich habe es jetzt nicht nachgerechnet.

Zitat:

Original von minx
1) Sollte das ln von 50ln in der Ableitung laut der Kettenregel nicht verschwinden? In der Lösung ist sie aber immer noch da. Ich hätte jetzt gesagt da müsste $\begin{eqnarray*} 50(\frac{1}{\frac{100}{p} }-1) \end{eqnarray*}$ hin...

Beachte, daß du da ursprünglich 50p * ln(...) hattest. Aufgrund der Produktregel hast du dann 50 * ln(...) + 50p * Ableitung von (ln(...)) .

Zitat:

Original von minx
2)Woher kommt das $\begin{eqnarray*} 500p^{-2} *(\frac{100}{p} -1)^{-1} \end{eqnarray*}$ ?

Das ist die Ableitung von $\begin{eqnarray*} -500 \cdot ln(\frac{100}{p} - 1) \end{eqnarray*}$ . smile

04.12.2016, 17:20

minx

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Ok ich schau mir das nochmal in Ruhe an und melde mich wenn ich doch wieder fragen haben sollte, aber vielen dank für alles!! smile

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