Stetigkeit zeigen

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Mathe<3 Auf diesen Beitrag antworten »
Stetigkeit zeigen
Meine Frage:
Hi Leute wie kann ich zeigen das jede Funktion stetig ist ? Also diese Aufgabe(siehe Bild)



Meine Ideen:
Ich weiß nicht wie gehe ich hier ran soll ? wie kann ich zeigen das dies Stetig ist für jede Funktion?
Mathe<3 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stetigkeit zeigen
hab eine idee zu der a) bekommen.
Reicht es aus wenn ich zeige das der linksseitige Grenzwert und der Rechtsseitige Grenzwert

gegen unendlich gleich sind sodass der Beidseitige Grenzwert existiert und wenn ich zeige das die Funktion an der stelle x0 den Grenzwert hat der Gleich dem Funktionswert ist ? Also nochmal alles :

1)




ALso sind Links Rechtseitge Grenzwerte gleich also existiert der Beidseitge mit :




und der Funktionswert ist genau dieser.

Aber kann ich das wirklich so machen ? Ich meine habe ich nun Bewiesen das alle Funktionen von hn stetig sind ?
Mathe<3 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stetigkeit zeigen
Also ne das stimmt nicht ich weiß.. verwirrt
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Stetigkeit hat nichts damit zu tun, dass die Grenzwerte der Funktion für und gleich sind.
Stetigkeit von in bedeutet: .
(Und dann wolltest du da noch Grenzwerte für berechnen; in a) geht es aber nur um die Stetigkeit von für festes .)

Du brauchst aber sicherlich nicht mit diesem Grenzwert argumentieren. Weißt du etwas über Quotienten stetiger Funktionen?
Mathe<3 Auf diesen Beitrag antworten »

Also es geht um die a) ich zeige also nichts mit Grenzwerten.
Ja Rechenregeln für Qoutinten. Wenn 2 Stetige Funktion Addiert subtrahiert multipliziert oder dividiert werden dann sind die immernoch stetig. ? Und jetzt ? verwirrt
Mathe<3 Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich habe nun eine fallunterscheidung gemacht:


falls nx>= 0 dann ist


falls nx <0 dann ist


weiß aber nicht was mir das bringt.
 
 
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von 10001000Nick1
Stetigkeit von in bedeutet: .

Richtig ist: .

Zitat:
Original von Mathe<3
Also es geht um die a) ich zeige also nichts mit Grenzwerten.
Ja Rechenregeln für Qoutinten. Wenn 2 Stetige Funktion Addiert subtrahiert multipliziert oder dividiert werden dann sind die immernoch stetig. ? Und jetzt ? verwirrt

Das war es eigentlich schon. Augenzwinkern Zähler und Nenner sind stetige Funktionen. Obendrein wird der Nenner nie Null. Also ist auch der Quotient stetig.
Mathe<3 Auf diesen Beitrag antworten »

Woher weiß du das Zähler und Nenner Stetige Funktionen sind ?
ist das einfach nur eine Regel ?
Nagut wie soll ich denn das nun Ordentlich aufschreiben bzw den Beweis ?
Etwa so :


Da nx Eine Lineare Funktion ist, ist diese Funktion Stetig.
Das selbe Gilt für 1+|n*x|.
Und da der nenner nie Null werden kann ist der Qoutint von 2 Stetigen Funktion wieder Stetig verwirrt
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mathe<3
Woher weiß du das Zähler und Nenner Stetige Funktionen sind ?
ist das einfach nur eine Regel ?

Da greifen diverse Regeln:

Alle Polynome sind stetig; die Betragsfunktion ist stetig; die Verkettung stetiger Funktionen ist stetig; Summen stetiger Funktionen sind stetig.

Deinen Beweis würde ich so gelten lassen (mit Beachtung des Hinweis auf die Stetigkeit der Betragsfunktion).
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mathe<3
Woher weiß du das Zähler und Nenner Stetige Funktionen sind ?
ist das einfach nur eine Regel ?

Nein, das ist keine "Regel". Das musst du begründen.

Die Funktion ist z.B. das Produkt der beiden Funktionen (konstant) und .

Und dann ist die Betragsfunktion stetig, und die Komposition stetiger Funktionen ist..., also...

Wenn du das noch sauber begründest, ist dein Beweis in Ordnung.


Edit: Zu langsam Augenzwinkern
Mathe<3 Auf diesen Beitrag antworten »

Also darf ich wirklich einfach so diese Regeln benutzen ? wie würde man das Beweisen wenn man das davor nicht weiß ? Big Laugh
Wahrscheinlich muss man dann davor zeigen das diese Einzelnen Funktionen Stetig sind Big Laugh


zu b)

Ich würde einfach einmal für x<0 x=0 x>0 überprüfen ob der Grenzwert existiert.

und dann würde ich überprüfen ob der Grenzwert dem Funktionswert entspricht oder ?

Also :

Für x<0 gilt :





wie soll ich aber überprüfen ob es mit dem Funktionswert übereinstimmt unendlich kann ich ja nicht in die Funktion einsetzen
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mathe<3
Also darf ich wirklich einfach so diese Regeln benutzen ?

Wenn diese bewiesen wurden, ja. Augenzwinkern

Zitat:
Original von Mathe<3
wie würde man das Beweisen wenn man das davor nicht weiß ? Big Laugh
Wahrscheinlich muss man dann davor zeigen das diese Einzelnen Funktionen Stetig sind Big Laugh

Wohl oder übel. smile

Zitat:
Original von Mathe<3
und dann würde ich überprüfen ob der Grenzwert dem Funktionswert entspricht oder ?

Dem Funktionswert von was? Du sollst doch "nur" die Grenzfunktion h(x) bestimmen und schauen, ob diese stetig ist.

Zitat:
Original von Mathe<3


Wo kommt denn da der Zähler n-x her? verwirrt
Mathe<3 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja sorry da kommt im Zähler keine Minus für x<0

gilt




für x>0 gilt:



für x=0 gilt :



Mein Problem ist es was sagt mir das über die Stetigkeit aus ?

Ich hatte z.B. Aufgaben da sollte ich überprüfen ob eine Funktion an einer stelle xo stetig ist.

um dies zu lösen habe ich diese schritte bearbeitet:

1) ist xo Definiert
2) Existiert der Links-Rechtsseitge Grenzwerte und sind diese Gleich
3) Entspricht der Grenzwert an der stelle x0 gleich dem Funktionswert

und diese schritte versuche ich in dieser Aufgabe zu machen aber vergeblich
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mathe<3
Mein Problem ist es was sagt mir das über die Stetigkeit aus ?

Im Moment noch nichts. Jetzt hast du erst mal die Grenzfunktion h(x), nämlich:



Jetzt darfst du dir über die Stetigkeit von h(x) Gedanken machen. Augenzwinkern
Mathe<3 Auf diesen Beitrag antworten »

Achso das sieht aufjedenfall besser aus.. smile

die stelle x0 = 0 Überprüfe ich:


Der Linksseitge Grenzwert für X0= 0 ist

-1 und der Rechtsseitige Grenzwert ist 1 da beide nicht gleich sind heißt das es existiert nicht der Beidseitige Grenzwert also kann es auch nicht Stetig sein.
oder ?

Also





Irgendwas mache ich falsch ich weiß aber nicht genau was unglücklich
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mathe<3
Der Linksseitge Grenzwert für X0= 0 ist

-1 und der Rechtsseitige Grenzwert ist 1 da beide nicht gleich sind heißt das es existiert nicht der Beidseitige Grenzwert also kann es auch nicht Stetig sein.

Korrekt.

Zitat:
Original von Mathe<3
Also



Auch korrekt. Es würde aber auch schon reichen. Augenzwinkern

Zitat:
Original von Mathe<3
Irgendwas mache ich falsch ich weiß aber nicht genau was unglücklich

Wieso?
Mathe<3 Auf diesen Beitrag antworten »

Also du hast ja gezeigt das wenn der Rechtsseitge Grenzwert nicht dem Funktionswert entspricht und deshalb der Rechtsseitge Grenzwert nicht Stetig ist und somit das Gesamte an der stelle x0 nicht stetig sein kann.


Ich habe noch eine Frage und zwar wie Beweise ich das die :

Linearen Funktionen , Potenzfunktionen, Betragsfunktionen allesamt Stetig in ihren Definitionsbereich sind ?

Und eine andere Frage wäre Stetigkeit kann man ja auch mit dem Folgenkriterium Definieren aber diese Definition verstehe ich nicht also :

Def: f element f'(D) heißt Stetig in a element D

falls

bzw




Also steht da wenn der Grenzwert an der Stelle x0=a gleich dem Funktionswert entspricht
bzw !!!( für alle (xn) Element D der Grenzwert von xn gegen a verläuft)!!!
das mit der Folge verstehe ich nicht ganz.

Ich habe das Gefühl das es unendliche von Definitionen von Stetigkeit gibt das verwirrt mich sehr
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mathe<3
Also du hast ja gezeigt das wenn der Rechtsseitge Grenzwert nicht dem Funktionswert entspricht und deshalb der Rechtsseitge Grenzwert nicht Stetig ist und somit das Gesamte an der stelle x0 nicht stetig sein kann.

Das ist ungenau formuliert. Ein Grenzwert als solcher ist nicht stetig. Nur Funktionen sind stetig oder eben nicht. Also lautet es:
Wenn der rechtsseitige Grenzwert für x gegen x0 nicht dem Funktionswert f(x0) entspricht, dann ist die Funktion an der Stelle x0 nicht stetig.

Zitat:
Original von Mathe<3
Ich habe noch eine Frage und zwar wie Beweise ich das die :

Linearen Funktionen , Potenzfunktionen, Betragsfunktionen allesamt Stetig in ihren Definitionsbereich sind ?

Im wesentlichen benötigt man den Satz, daß das Produkt zweier stetiger Funktionen wiederum stetig ist. Die Betragsfunktion stellt auch kein großes Problem dar. Man muß halt die Stetigkeit für x_0 ungleich Null und x_0 = 0 zeigen.

Zitat:
Original von Mathe<3
Und eine andere Frage wäre Stetigkeit kann man ja auch mit dem Folgenkriterium Definieren aber diese Definition verstehe ich nicht also :

Def: f element f'(D) heißt Stetig in a element D

falls

bzw



Ich weiß jetzt nicht, was mit f'(D) gemeint ist, aber richtig muß es heißen:



Zitat:
Original von Mathe<3
Ich habe das Gefühl das es unendliche von Definitionen von Stetigkeit gibt das verwirrt mich sehr

Es gibt eigentlich nur eine. Weitere "synonyme Definitionen" sind dazu äquivalent (was natürlich zu zeigen ist) und können daher auch synonym verwendet werden. smile
Mathe<3 Auf diesen Beitrag antworten »

Mhh ok ich verstehe vielen Dank smile

Ich hätte hier noch eine Aufgabe, da geht es um ein Fixpunkt weiß du vllt wie ich da ran gehen kann? verwirrt
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Da die Funktion f das Intervall [a; b] auf [a; b] abbildet, ist f(a) >= a und f(b) <= b. Wende nun den Zwischenwertsatz auf die Funktion h an. smile
Mathe<3 Auf diesen Beitrag antworten »

Also da f im Intervall [a,b] stetig ist und es gilt f(a)>a und f(b)<b muss es eine Nullstelle im Intervall geben für die Funktion f.

Ein Fixpunkt heißt nichts anderes als : f(x)=x
deshalb wird die funktion h(x) = f(x)-x betrachtet.

f(x)-x muss laut dem zws einen Fixpunkt im intervall [a,b] besitzen da:

f(a) -a >0

f( b)-b <0

stimmt das so ? verwirrt
Mathe<3 Auf diesen Beitrag antworten »

aber woher weiß du das f(a)> a und f(b) < b ist ? verwirrt
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mathe<3
Also da f im Intervall [a,b] stetig ist und es gilt f(a)>a und f(b)<b muss es eine Nullstelle im Intervall geben für die Funktion f.

Also von Nullstelle kann ja keine Rede sein, wenn beispielsweise die Funktion f von [1; 2] nach [1; 2] abbildet.

Zitat:
Original von Mathe<3
Ein Fixpunkt heißt nichts anderes als : f(x)=x
deshalb wird die funktion h(x) = f(x)-x betrachtet.

f(x)-x muss laut dem zws einen Fixpunkt im intervall [a,b] besitzen da:

f(a) -a >0

f( b)-b <0

stimmt das so ? verwirrt

Das ist alles ein wenig Kraut und Rüben. Erst mal bedeutet Fixpunkt, daß es wenigstens eine Stelle x_0 gibt mit f(x_0) = x_0 . Die Aussage f(x) = x wird eher in Richtung "gilt für alle x" interpretiert.

Der Zwischenwertsatz sagt auch nicht, daß f(x) - x einen Fixpunkt haben mußt. (Oder du mußt mir zeigen, wo das steht.)
Aber der Zwischenwertsatz ist gut für dieses:
Wegen h(a) = f(a) - a >= 0 und h(b) = f( b) - b <= 0 gibt es x_0 in [a; b] mit .
(Die Stetigkeit von h ergibt sich aus der Stetigkeit von f.)

Zitat:
Original von Mathe<3
aber woher weiß du das f(a)> a und f(b) < b ist ? verwirrt

Da die Funktion f auf das Intervall [a; b] abbildet, ist offensichtlich a der kleinste mögliche und b der größte mögliche Funktionswert.
Im übrigen habe ich f(a) >= a und f(b) <= b geschrieben. smile
Mathe<3 Auf diesen Beitrag antworten »

haha deine Sprüche sind echt gut (Kraut und Rüben ) Big Laugh

Irgendwie meinte ich mehr oder weniger das was du meinst verwirrt
Ich habe gelernt in der Mathematik muss man sehr vorsichtig sein wenn es um Begriffe geht traurig

Mit dem ZWS haben wir sozusagen gezeigt das es ein x_{0} gibt, sodass h(x) =0 ist und da h(x) =f(x)-x einen Fixpunkt darstellt haben wir gezeigt das es ein Fixpunkt im Intervall [a,b] existiert.



(Die Stetigkeit von h ergibt sich aus der Stetigkeit von f.)

h(x) muss Stetig sein da man sonst den ZWS nicht anwenden könnte stimnmts ?
und h(x) ist Stetig da die Differenz von 2 Stetigen Funktion wieder Stetig ist
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mathe<3
Ich habe gelernt in der Mathematik muss man sehr vorsichtig sein wenn es um Begriffe geht traurig

In der Tat. Mathematik ist eine sehr präzise Sprache, die leider von Mathematikern manchmal auch schludrig gehandhabt wird. Augenzwinkern

Zitat:
Original von Mathe<3
Mit dem ZWS haben wir sozusagen gezeigt das es ein x_{0} gibt, sodass h(x) =0 ist und da h(x) =f(x)-x einen Fixpunkt darstellt haben wir gezeigt das es ein Fixpunkt im Intervall [a,b] existiert.

Wir präzisieren: es gibt ein x_0, so daß ist. Dies ist äquivalent zu .

(Die Beziehung h(x) = f(x)-x stellt keinen Fixpunkt dar, sondern es existiert allenfalls ein Fixpunkt, wenn es eine Stelle x_0 mit h(x_0) = 0 gibt.)

Zitat:
Original von Mathe<3
h(x) muss Stetig sein da man sonst den ZWS nicht anwenden könnte stimnmts ?

Ja.

Zitat:
Original von Mathe<3
und h(x) ist Stetig da die Differenz von 2 Stetigen Funktion wieder Stetig ist

Ja.
Mathe<3 Auf diesen Beitrag antworten »

Klarsoweit du bist echt gut Respekt ich will auch mal so gut sein wie du Freude

Ist dein schwergebiet nur Analysis ?
Mathe<3 Auf diesen Beitrag antworten »

und bei der einen Aufgabe die wir davor gemacht hatten Aufgabe 1a). Ich glaube mein Prof. hat es davor nicht gemacht das Polynome ersten grades Stetig sind. (Das ist ja eine Polynomfunktion ersten Grades im Zähler. Und im Nenner Eine Polynom Funktion mit betrag. Wie zeige ich denn das diese Stetig sind ?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mathe<3
Ist dein schwergebiet nur Analysis ?

Nun ja, auch ein wenig Grundlagen der Algebra.

Was Analysis angeht, haben hier einige mehr drauf als ich. Aber für die Anfangssemester reicht es noch. Big Laugh

Zitat:
Original von Mathe<3
Das ist ja eine Polynomfunktion ersten Grades im Zähler. Und im Nenner Eine Polynom Funktion mit betrag. Wie zeige ich denn das diese Stetig sind ?

Bevor du da viel Zeit investierst, würde ich mal nachfragen, was alles verlangt wird. Das kann nämlich beliebig lustig werden.
Mathe<3 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Ich bin es nochmal ich wollte noch was fragen zu der Aufgabe 1a)

Also ist das so ok wenn ich das so aufschreibe :

a) z.z das alle Funktionen hn Stetig sind


Die Konstante Funktion n ist für ein vorgegebenes a

Stetig da die Funktion an jeder stelle xo
ihres Definitonsbereiches einen Grenzwert besitzt und dieser ist der Funktionswert also



ist xo und epsilon >0 so folgt für alle delta >0 mit 0<|x-x_{0}|< delta das
|f(x)-a|=|a-a|=0<epsilon

Analog zu x.


Das Produkt von 2 Stetigen Funktionen ist wieder Stetig.

Die Betragsfunktion ist Stetig. Das heißt die Komposition von den Konstanten funktionen und der Betragsfunktion ist wieder Stetig. und da


ein Quotint von 2 Stetigen Funktionen ist ist die Funktion Stetig.

Wäre dies gut so ? Vielen Dank smile
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mathe<3
Die Konstante Funktion n ist für ein vorgegebenes a Stetig

Vermutlich meinst du da die konstante Funktion f(x) = a ?

Zitat:
Original von Mathe<3
Analog zu x.

Was meinst du damit? Immerhin ist die Funktion f(x) = x keine konstante Funktion.

Zitat:
Original von Mathe<3
und da


ein Quotint von 2 Stetigen Funktionen ist ist die Funktion Stetig.

Beim Quotient stetiger Funktionen darf der Hinweis nicht fehlen, daß der Nenner keine Nullstellen hat. (Falls doch, müssen diese Stellen separat untersucht werden, denn der obige Satz gilt nur außerhalb der Nullstellen des Nenners.)

Wie gesagt: es werden da diverse Sätze über stetige Funktionen verwendet. Ob du das darfst, mußt du den Prof oder sonst wen fragen. smile

Noch ein Hinweis: bei der Aufgabe geht es ja um die Frage, ob die Grenzfunktion von stetigen Funktionen h_n wieder stetig ist oder nicht. Im allgemeinen ist das offensichtlich nicht der Fall. Ihr werdet später noch lernen, unter welchen Bedingungen auch die Grenzfunktion stetig ist. Augenzwinkern
Mathe<3 Auf diesen Beitrag antworten »

ich meine die Funktion f(x)= n für ein vorgegebenes n element R und die funktion f(x)= x meine ich die Identität. Und aus den Grenzwertsätzen Und Stetigkeit sätzen Folgt
nx ist wieder Stetig.
Der Bruch von 2 Stetigen Funktion ist wieder Stetig da in dem fall auch der nenner ungleich 0 ist also

nx>= 0

1+nx >0

Und für nx<0 gilt

1-nx <0
Aber jetzt überlege ich nx kann ja auch 1 sein bei fallunterscheidung dann wäre der nenner null verwirrt
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Nun ja, wenn man sich den Nenner anschaut, also 1 + |n*x|, so ist klar, daß der Betragsausdruck immer >= Null ist. Somit ist 1 + |n*x| >= 1 und daher auch immer ungleich Null. Augenzwinkern
Mathe<3 Auf diesen Beitrag antworten »

Achso ja aber bei einer fallunterscheidung ist das nicht der fall warum ist das so? Der Absolutbetrag ist ja so definiert:/
Wäre der rest sonst so richtig?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mathe<3
Achso ja aber bei einer fallunterscheidung ist das nicht der fall warum ist das so? Der Absolutbetrag ist ja so definiert:/

Der gedankliche Fehler liegt hier:
Zitat:
Original von Mathe<3
Und für nx<0 gilt

1-nx <0

Wenn nx < 0 ist, ist natürlich 1 - nx > 0 . ;

Zitat:
Original von Mathe<3
Wäre der rest sonst so richtig?

Im Großen und Ganzen ja.
Mathe<3 Auf diesen Beitrag antworten »

Okay vielen Dank Freude

Die epsilon-Delta definiton des grenzwertes ist doch identisch mit der Epsilon Delta Definition der Stetigkeit oder ? verwirrt
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Optisch ja, inhaltlich gibt es durchaus Nuancen. Augenzwinkern
Mathe<3 Auf diesen Beitrag antworten »

Also Vielen vielen Dank erstmal Klarsoweit du hilfst mir sehr viel.
Meine letzten fragen für diese Woche wären nur noch:

1) Bei der Aufgabe 1b) warum überprüfen wir nur an der stelle x0=0 ob es Stetig ist ? Woher wissen wir das die Funktion an alle anderen stellen x0 stetig ist ?

2) Bei der Aufgabe wegen dem ZWS. Du schreibtest :

Zitat:
Wegen h(a) = f(a) - a >= 0 und h(b) = f( b) - b <= 0 gibt es x_0 in [a; b] mit .


Muss für den ZWS nicht einmal >0 und einmal <= gelten ? und f(a) -a kann ja nur 0 sein falls f(a) ein Fixpunkt ist da dann stehen würde a-a=0 aber dann ist es ja nicht mehr >0 was ja sein muss für den ZWS weiß du was ich meine ?

Es muss ja gelten f(a) *f(b) <0 und wenn eins davon gleich null ist dann ist es ja nicht mehr kleiner 0 also muss ja eigentlich f(a)-a >0 heißen anstatt f(a)-a >= 0.
Aber f(a) kann ja auch a sein deshalb frage ich mich ob das nun wirklich geht verwirrt
Mathe<3 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Muss für den ZWS nicht einmal >0 und einmal <= gelten ?


anstatt ein <= meine ich < Freude
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mathe<3
1) Bei der Aufgabe 1b) warum überprüfen wir nur an der stelle x0=0 ob es Stetig ist ? Woher wissen wir das die Funktion an alle anderen stellen x0 stetig ist ?

Nun ja, außerhalb der Stelle x0 = 0 gibt es für jedes x0 ein delta > 0, so daß die Funktion h(x) auf dem Intervall konstant ist. Und eine konstante Funktion ist immer stetig. smile

Zitat:
Original von Mathe<3
2) Bei der Aufgabe wegen dem ZWS. Du schreibtest :

Zitat:
Wegen h(a) = f(a) - a >= 0 und h(b) = f( b) - b <= 0 gibt es x_0 in [a; b] mit .


Muss für den ZWS nicht einmal >0 und einmal <= gelten ? und f(a) -a kann ja nur 0 sein falls f(a) ein Fixpunkt ist da dann stehen würde a-a=0 aber dann ist es ja nicht mehr >0 was ja sein muss für den ZWS weiß du was ich meine ?

Nun ja, die Sache ist doch die: wenn h(a) >= 0 und h(b) <= 0 ist, ist h(a) = 0 oder h(b) = 0 (oder beides) und wir haben dann eine Nullstelle von h oder es ist h(a) > 0 und h(b) < 0. Dann zieht eben der Zwischenwertsatz. Augenzwinkern
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