Teilbarkeit, Vielfache und Rest

29.11.2016, 20:15

Alex748

Teilbarkeit, Vielfache und Rest

Meine Frage:
Wenn ein Schafhirte seine Schafe paarweise in den Stall treibt, so bleibt ein Schaf übrig, wenn er sie zu dritt, zu viert, zu fünft, zu sechst in den Stall treibt, bleibt auch jeweils ein Schaf übrig. Bringt man sie zu siebt in den Stall, so bleibt keines übrig.

Meine Ideen:
2 x3 x 4 x5 x6 +1 = 721 Schafe
so steht es im Lösungsheft, die Frage ist aber wie leite ich das ab.

bekomm da kein Bild in meinem Hirn zu stände.

Bitte um Hilfe

30.11.2016, 01:48

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast Recht, es ist nicht sehr schlüssig, was da im Lösungsheft steht: Warum nicht die geringere Anzahl 301 Schafe, die ebenfalls all die Anforderungen erfüllt? Augenzwinkern

-----------------------------------

Im einzelnen: Sei $\begin{align*} n \end{align*}$ die gesuchte Schafanzahl. Dann bedeutet

Zitat:

Original von Alex748
Wenn ein Schafhirte seine Schafe paarweise in den Stall treibt, so bleibt ein Schaf übrig, wenn er sie zu dritt, zu viert, zu fünft, zu sechst in den Stall treibt, bleibt auch jeweils ein Schaf übrig.

dass $\begin{align*} (n-1) \end{align*}$ durch 2, 3, 4, 5, 6 teilbar sein muss, das ist gleichbedeutend mit der Teilbarkeit durch $\begin{align*} \operatorname{kgV}(2,3,4,5,6)=60 \end{align*}$ . Es muss also eine ganze Zahl $\begin{align*} t \end{align*}$ geben mit $\begin{align*} n=60t+1 \end{align*}$ . Die verbleibende Information

Zitat:

Original von Alex748
Bringt man sie zu siebt in den Stall, so bleibt keines übrig.

engt die möglichen Werte für $\begin{align*} t \end{align*}$ ein: Mit Modulrechnung bedeutet es $\begin{align*} 60t+1\equiv 4t+1\equiv 0\bmod 7 \end{align*}$ , aufgelöst $\begin{align*} t\equiv 5\bmod 7 \end{align*}$ . D.h., es ist $\begin{align*} t=7s+5 \end{align*}$ mit einer ganzen Zahl $\begin{align*} s \end{align*}$ , was dann Schafanzahl $\begin{align*} n=420s+301 \end{align*}$ zur Folge hat. Die kleinste mögliche Schafanzahl (die ja positiv sein muss) ergibt sich für $\begin{align*} s=0 \end{align*}$ , das sind dann $\begin{align*} n=301 \end{align*}$ . Dein Wert $\begin{align*} n=721 \end{align*}$ ergibt sich hingegen für $\begin{align*} s=1 \end{align*}$ , ist also nicht die kleinstmögliche Anzahl.

Und der "Lösungsweg", der da in dem Lösungsheft suggeriert wird "einfach die Zahlen 2 bis 6 multiplizieren plus 1" ist ziemlicher Humbug: Erstens ist das Produkt gar nicht nötig (s.o. es ist der kgV), und zweitens ist auf diese Weise die Teilbarkeit durch 7 nicht automatisch sichergestellt, es ist quasi reiner Zufall, dass es hier so aufgeht (falls wer mit dem Satz von Wilson argumentieren will: wir sind hier in der Schulmathematik. Augenzwinkern

12.01.2025, 13:08

geraldm82

Auf diesen Beitrag antworten »

geraldm82
Hallo!
Ich sitze mit meinem Sohn (6. Schulstufe bzw. 2 Klasse Mittelschule) über der selben Aufgabe. Wenn ich vergleiche mit welchen einfachen Bruch und Teiler-Übungen sie sich zu diesem Zeitpunkt sonst rechnen, finde ich als erwachsener nicht einmal eine einfache sinnvolle Herangehensweise. Klar, kann auch sein, dass ich nicht die aller hellste Kerze auf dem Kuchen bin, aber es muss doch eine für dieses Niveau angebrachte Lösung geben?!

12.01.2025, 13:30

IfindU

Auf diesen Beitrag antworten »

Das "primitivste" was mir einfällt: Alle Zahlen ausprobieren und gucken ob es die Bedingung erfüllt. Man wird aber etwa 300 Zahlen überprüfen.

Etwas geschickter: Sei $\begin{eqnarray*} s \end{eqnarray*}$ die Anzahl der Schafe. Weil es durch 7 teilbar sein muss, gilt $\begin{eqnarray*} s = 7n \end{eqnarray*}$ für ein ganzes $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ . Jetzt kann man einfach $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ durchprobieren:
$\begin{eqnarray*} 7\cdot 1 = 7 \end{eqnarray*}$ : Hat Rest 1 beim teilen von $\begin{eqnarray*} 2,3,6 \end{eqnarray*}$ und Rest 2 beim Teilen durch 5, Rest 3 beim Teilen durch 4. Schade! Nächstes Versuch: $\begin{eqnarray*} 7 \cdot 2 = 14 \end{eqnarray*}$ hat Rest 0 beim Teilen durch 2, also kann es das nicht sein. Tatsächlich fallen so die allermeisten Zahlen weg, da $\begin{eqnarray*} 2,3,5 \end{eqnarray*}$ nicht $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ teilen dürfen und damit nur $\begin{eqnarray*} n = 7,11,13,17,19,23, ... \end{eqnarray*}$ durchprobiert werden muss. Sicher nicht Schulniveau, aber es reicht den Rest für $\begin{eqnarray*} 4,5,6 \end{eqnarray*}$ beim Teilen zu überprüfen.

Das wäre machbar, aber da HAL zeigt dass $\begin{eqnarray*} n = 43 \end{eqnarray*}$ ist, wird man dennoch eine Weile probieren müssen bis man es gefunden hat...

Bei HALs initialianen Ansatz mit $\begin{eqnarray*} s = 60n + 1 \end{eqnarray*}$ reicht es bereits bis $\begin{eqnarray*} n = 5 \end{eqnarray*}$ zukommen, d.h. nur 5 Zahlen ausprobieren.

Wenn ich mir die Musterlösung angucke, hat der Aufgabensteller aber die Schwierigkeit des Problems unterschätzt, weil er ja selbst nur zufällig auf eine Lösung kommt. Und offenbar nicht einmal gesehen hat, dass die Lösung nicht eindeutig ist.

12.01.2025, 15:13

Elvis

Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn man die erste Idee von HAL9000 nimmt, und danach probiert, wie es IfindU vorschlägt, dann sieht ein einfacher Lösungsweg wie folgt aus:

$\begin{eqnarray*} kgV(2,3,4,5,6)=60 \end{eqnarray*}$ teilt $\begin{eqnarray*} n-1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 7 \end{eqnarray*}$ teilt $\begin{eqnarray*} n=61,121,181,241 \end{eqnarray*}$ nicht, aber $\begin{eqnarray*} 7 \end{eqnarray*}$ teilt $\begin{eqnarray*} n=301=7\cdot 43 \end{eqnarray*}$
Also ist $\begin{eqnarray*} 301 \end{eqnarray*}$ die kleinste Lösung.

Wie alle weiteren Lösungen aussehen, hat HAL9000 auch schon gesagt:

Zur kleinsten Lösung muss man Vielfache von $\begin{eqnarray*} 60 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 7 \end{eqnarray*}$ addieren, also Vielfache von $\begin{eqnarray*} 420 \end{eqnarray*}$ , das gibt die Lösungen $\begin{eqnarray*} 721, 1141, 1561, 1981, ... \end{eqnarray*}$

12.01.2025, 16:16

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

An geraldm82, der sich vielleicht eine schnellere Lösung erhofft hat:

Letztendlich kommt man nicht drum herum, eine lineare Kongruenzgleichung lösen (auch wenn man diesen Begriff dafür noch nicht kennt) - sei es durch Probieren oder systematisch unter Einbeziehung des EEA (Erweiterter Euklidischer Algorithmus).

Und bei den vorliegenden kleinen Zahlen hier ist Probieren tatsächlich die schnellere Option.

12.01.2025, 17:16

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

In der 6. Schulstufe sind eventuell auch schon Gleichungen bekannt, welche nur ganzzahlige Lösungen haben sollen. Sie werden "Diophantische Gleichungen" genannt.
Um nur mit den Kenntnissen in dieser Schulstufe zur Lösung zu kommen, geht man zunächst so vor, wie von Hal in seinem Erstpost beschrieben:

Das kleinste gemeinsame Vilefache der Zahlen 2, 3, 4, 5, 6 ist 60.
Gesucht ist ein Vielfaches von 60, welches um 1 vermehrt durch 7 teilbar ist. Also gilt

$\begin{eqnarray*} 60t + 1 = 7n; \ \ \text{t und n sind ganzzahlig} \end{eqnarray*}$

Wie schon beschrieben, muss nun t so variiert werden, dass sich für n die kleinstmögliche Zahl ergibt.

Die Gleichung etwas umgeschrieben lautet

$\begin{eqnarray*} 8t + \frac{4t+1} 7 = n \end{eqnarray*}$

Schnell sieht man, dass erstmals für t = 5 der Bruch $\begin{eqnarray*} \frac{4 \cdot 5+1} 7 = \frac{21} 7 = 3 \end{eqnarray*}$ ganzzahlg wird.
Daher ist t = 5 und n = 43 und damit die Anzahl der Schafe 60*5 + 1 = 301

mY+

14.01.2025, 01:45

Dummer Junge aus Ulm

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Teilbarkeit, Vielfache und Rest
In der Aufgabe geht es vorrangig darum, alle Vielfachen von sieben zu untersuchen, so dass sie die übrigen Bedingungen erfüllen

14.01.2025, 03:08

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

Das artet dann in eine ziemlich langweilige Suche aus, bis man beim 43-fachen von 7 angelangt ist :-(

mY+

14.01.2025, 08:35

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Wie lange man doch über diese einfache Gleichung reden kann ... ich hab auch noch einen:

Man kann (im Wissen um die Lösung, und damit manipulativ) die Diophantische Gleichung so umschreiben, dass die Lösung unmittelbar erkennbar ist:

Mit 2 multipliziert bekommt man $\begin{eqnarray*} 0 = 120t + 2 - 14n = 7\cdot \left( 17t - 2n\right) + t +2 \end{eqnarray*}$ , es folgt $\begin{eqnarray*} 7\mid \left(t+2\right) \end{eqnarray*}$ , und daraus als kleinste positive Lösung $\begin{eqnarray*} t=5 \end{eqnarray*}$ .

P.S.: Wer sich für Diophantische Gleichungen rund um "Tiere zählen" interessiert, dem empfehle ich das Rinderproblem des Archimedes. smile

14.01.2025, 15:54

Luftikus

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich denke, welcher "angemessene" Weg hier "richtig" ist, kann nur ein/e Lehrer/in der Schulstufe wissen, der/die das Curriculum kennt. smile

Der saubere Weg ist wohl mit Kongruenzgleichungen, wie auch HAL schon erklärt hat.

Ansonsten kann man auch Listen von Vielfachen von 7 und Resten von 6-2 als Teiler anfertigen (am Besten mit Excel, da sich die Reste wiederholen).

Bei dem ersten Vielfachen von 7, bei dem in der Zeile der Reste lauter 1en stehen, ist dann die kleinste Lösung..

14.01.2025, 16:06

nichteuerernst

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Teilbarkeit, Vielfache und Rest

Zitat:

Original von Dummer Junge aus Ulm
In der Aufgabe geht es vorrangig darum, alle Vielfachen von sieben zu untersuchen, so dass sie die übrigen Bedingungen erfüllen

Aber nur, wenn man sich ganz ungeschickt anstellt.
Vernünftigerweise untersucht man die Zahlen 60+1, 120+1, 180+1, 240+1, 300+1, ...
bis erstmals ein Vielfaches von 7 auftritt. Das ist nach nur 5 Versuchen (bei 301) der Fall.

14.01.2025, 16:34

Luftikus

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Teilbarkeit, Vielfache und Rest

Zitat:

Original von nichteuerernst

Zitat:

Original von Dummer Junge aus Ulm
In der Aufgabe geht es vorrangig darum, alle Vielfachen von sieben zu untersuchen, so dass sie die übrigen Bedingungen erfüllen

Jup, hier nach der Regel:
jeder "Primfaktor" (ist das bekannt?) der Teiler, der doppelt vorkommt, lässt sich einer davon streichen, also..
2
3
4=2*2
5
6=2*3

Doppelt vorkommen zweimal 2 und einmal 3:
Also bleibt 2*2*3*5=60.
Und weil alle Teiler hier den Rest 1 haben, also Zahlen
60n+1.

Neue Frage »

Antworten »

Teilbarkeit, Vielfache und Rest

Verwandte Themen