Vereinfachung des Bayes-Theorems verstehen

29.11.2016, 20:53

fdfgdsdfdf

Vereinfachung des Bayes-Theorems verstehen

Meine Frage:
Hallo!

Bei 4 Ereignissen gilt:

$\begin{eqnarray*} P(A \cap B \cap C \cap D) = P(A)P(B|A)P(C|A \cap B)P(D|A \cap B \cap C) \end{eqnarray*}$

wenn man aber annimmt, dass die 4 Ereignisse stochastisch unabhängig sind, dann gilt:

$\begin{eqnarray*} P(A \cap B \cap C \cap D) = P(A)P(B|A)P(C|A)P(D|A) \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
ich kann das nicht nachvollziehen. Wie kommt denn die untere Formel zustande?

Ich weiß, dass bei stochast. Unabhängigkeit gilt:

$\begin{eqnarray*} P(A \cap B) = P(A)P(B) \end{eqnarray*}$ , aber ich kann das nicht auf die obige Formel anwenden.

Könnte mir jemand zeigen, wie die Vereinfachung zustandekommt?

29.11.2016, 21:57

Dopap

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RE: Vereinfachung des Bayes-Theorems verstehen

Zitat:

Original von fdfgdsdfdf
Meine Frage:
Hallo!

Bei 4 Ereignissen gilt:

$\begin{eqnarray*} P(A \cap B \cap C \cap D) = P(A)P(B|A)P(C|A \cap B)P(D|A \cap B \cap C) \end{eqnarray*}$

nimm an, die Ereignisse A,B,C,D fallen in dieser Reihenfolge. Unten Dargestellt am Baumdiagramm für A,B beim Ziehen ohne Zurücklegen. Das lässt sich leicht sinngemäß auf 4 Stufen erweitern, dann gilt tatsächlich obiger Satz.

Zitat:

wenn man aber annimmt, dass die 4 Ereignisse stochastisch unabhängig sind, dann gilt:

$\begin{eqnarray*} P(A \cap B \cap C \cap D) = P(A)P(B|A)P(C|A)P(D|A) \end{eqnarray*}$

noch nicht ausreichend, B,C,D sind noch von A abhängig. Entfällt dies auch noch, dann gilt sogar:

$\begin{eqnarray*} P(A \cap B \cap C \cap D) = P(A)P(B)P(C)P(D) \end{eqnarray*}$

wie man sich beim 4-maligen Ziehen mit Zurücklegen klar machen kann.

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