Eindeutigkeit eines Vektorraums |
| 29.11.2016, 23:26 | Dollmminode | Auf diesen Beitrag antworten » |
Eindeutigkeit eines Vektorraums
,Ich schreibe erstmal was zur Aufgabe und dann meine Idee: K sei ein Körper, I eine Menge mit einer Halbordnung "<=", V eine Menge und (V_i), i aus I eine Familie von Teilmengen. Folgendes soll gelten: (a) V = Vereinigung aller V_i (b) Für alle i und j aus I gibt es ein k mit i<=k und j<=k (c) Für alle i und j aus I mit i<=j gilt V_i teil von V_j (d) Für jedes i aus I ist auf V_i eine Addition und Skalarmultiplikation definiert, mit der V_i ein K-VR ist, so dass für i und j aus I mit i<=j der VR V_i ein Untervektorraum von V_j ist. Zu zeigen: Dann exisitert auf der Menge V genau eine K-VR Struktur, so dass für alle i aus I der K-VR V_i ein UVR von V ist. Als Info, das ist Lineare Algebra I und wir haben erst grob mit VR angefangen, heute sind wir bis zur Basis gekommen. Meine Gedanken dazu: Es gilt n.V.: V=Vereinigung aller V_i und für alle j aus I mit j<=i ist V_j teil V_i, d.h. es gibt ein i aus I, sodass V_i=V und da V_i ein UVR und insb. ein VR ist, ist auch V ein K-VR. Nun muss jede Teilmenge von V_i ein Untervektorraum sein, d.h. ich kann mir von V eine Basis wählen, oder alternativ falls es hier probleme mit der Unendlichkeit gibt, eine Familie von Vektoren sodass Lin(Familie)=V. Nun kann ich für alle V_i eine Basis bestimmen, weil sie alle UVR sind. Dabei konsturiere ich die Basesn so, dass ich Vektoren aus der Basis von V entferne, d.h. es gilt Basis B_j ist teil von Basis B_i für alle i, j aus I mit j<=i. Doch was genau soll ich jetzt zeigen? Dass es nur genau ein solches System von V_i für eine Menge I geben kann? Ich versuche es mal: Angenommen es gäbe ein weitere VR-Struktur W_i, i aus I, mit den gleichen Eigenschaften wie V_i. Dann gilt, dass die Vereinigung aller W_i = V ist. Und nun mein Problem: Angenommen I ist einelementig, dann ist die Aussage trivial, da V_i=W_i=V gelten muss. Aber für 2 Elemente in I={1,2} dann weiß ich nicht mehr warum diese Struktur eindeutig ist. Angenommen V ist 4 dimensional, dann muss V_2 auch 4 dimensional sein, aber V_1 könnte ja jetzt mehrere Möglichkeiten haben, einmal könnte es 3 dim sein, 2 dim oder 1 dim. Wenn ich es für die V_i 1 dim wähle und für W_i 2 dim, dann ist W_i nicht die gleiche Struktur wie V_i und die Aussage ist falsch oder nicht? Verstehe ich irgendwas falsch? Vielleicht auch was eine Struktur ist? Danke für eure Hilfe
|
||
|
|
Verwandte Themen
| Die Beliebtesten » |
|
| Die Größten » |
| Die Neuesten » |
|
