Komplexe Gleichung lösen

30.11.2016, 06:31

Hannes12

Komplexe Gleichung lösen

Meine Frage:
Es sollen alle Lösungen der komplexen Gleichung berechnet werden. Polarkoordianten sollen nicht verwendet werden.

$\begin{eqnarray*} z^{4} = 2i \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Substituieren: $\begin{eqnarray*} u= z^{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u^{2} = 2i \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} u = \sqrt{2i} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = \sqrt{1+2i-1} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = \sqrt{1+2i+i^{2}} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = \sqrt{(1+i)^{2}} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = \pm 1+i \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} => u1 = 1+i, u2 = -(1+i)= -1-i \end{eqnarray*}$

Resub.:
Fall 1:
$\begin{eqnarray*} z^{2} = 1+i \end{eqnarray*}$
Fall 2:
$\begin{eqnarray*} z^{2} = -1-i \end{eqnarray*}$

Hier wollte ich dann Real und Imaginärteil vergleichen um auf die 4 Lösungen zu kommen.
$\begin{eqnarray*} z^{2} = 1+i \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (x+yi)^{2} = 1+i \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x^{2} +2xyi-y^{2} = 1+i \end{eqnarray*}$

1. $\begin{eqnarray*} 2xyi = 1 \end{eqnarray*}$

2. $\begin{eqnarray*} x^{2} -y^{2} = 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x^{2} = y^{2} + 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x = \sqrt{y^{2} + 1} \end{eqnarray*}$

2. in 1.
$\begin{eqnarray*} 2*\sqrt{y^{2} + 1} *y = 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \sqrt{y^{2} + 1} *y = \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

Hier weiß ich dann leider nicht mehr was ich damit anfangen soll. Bin mir auch nicht ganz sicher ob es bis jetzt stimmt oder ich es anders machen müsste.

30.11.2016, 07:34

Leopold

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Verzichte auf das Wurzelzeichen. Es hat in $\begin{align*} \mathbb{C} \end{align*}$ keinen eindeutig bestimmten Sinn. Wird es dennoch verwendet, muß jeweils erklärt werden, in welcher Bedeutung es verwendet wird, zum Beispiel mehrdeutig oder eindeutig, und bei Eindeutigkeit: für welchen Wert es steht.

Das Entscheidende hast du ja erkannt: $\begin{align*} \left( 1 + \operatorname{i} \right)^2 = 2 \operatorname{i} \end{align*}$ . Deswegen kannst du so argumentieren:

$\begin{align*} u^2 = 2 \operatorname{i} \end{align*}$

$\begin{align*} u^2 = \left( 1 + \operatorname{i} \right)^2 \end{align*}$

$\begin{align*} u = \pm \left( 1 + \operatorname{i} \right) \end{align*}$

Beachte die Klammer in der letzten Gleichung, sie fehlt bei dir.

Beim Lösen der Gleichung $\begin{align*} z^2 = 1 + \operatorname{i} \end{align*}$ ergeben sich die beiden reellen Gleichungen (bei dir ist in $\begin{align*} \text{(1)} \end{align*}$ ein $\begin{align*} \operatorname{i} \end{align*}$ zu viel, vielleicht nur ein Schreibfehler):

$\begin{align*} \text{(1)} \ \ 2xy = 1 \, , \ \ \ \text{(2)} \ \ x^2 - y^2 = 1 \end{align*}$

Und hier kommt man mit einem Trick weiter: Quadriere $\begin{align*} \text{(1)} \end{align*}$ und $\begin{align*} \text{(2)} \end{align*}$ und addiere beide Gleichungen. Folgere daraus

$\begin{align*} \text{(3)} \ \ x^2 + y^2 = \sqrt{2} \end{align*}$

(Schneller kommst du zu $\begin{align*} \text{(3)} \end{align*}$ , wenn du in $\begin{align*} z^2 = 1 + \operatorname{i} \end{align*}$ zum Betrag übergehst und Umformungsregeln für den Betrag verwendest.) Jetzt kannst du $\begin{align*} x \end{align*}$ und $\begin{align*} y \end{align*}$ aus $\begin{align*} \text{(2)} \end{align*}$ und $\begin{align*} \text{(3)} \end{align*}$ berechnen (Additions-/Subtraktionsverfahren). Denke an alle Vorzeichen.

Das oben vorgeschlagene Quadrieren einer Gleichung ist keine Äquivalenzumformung. Du mußt daher unbedingt die Probe machen, welche der gefundenen x-y-Kombinationen $\begin{align*} \text{(1)} \end{align*}$ erfüllen. Scheide Scheinlösungen aus.

Und dann nach demselben Vorgehen $\begin{align*} z^2 = -1 - \operatorname{i} \end{align*}$ lösen.

30.11.2016, 10:11

HAL 9000

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Und für $\begin{align*} z^2=x+yi \end{align*}$ mit beliebigen reellen $\begin{align*} x,y \end{align*}$ hat Leopold sogar schon mal eine fertige Endformel für eine derartige algebraische Darstellung der komplexen Quadratwurzel entwickelt. Augenzwinkern

30.11.2016, 17:02

Hannes12

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Habe es jetz mal durchgerechnet. Stimmt es so?

Für $\begin{eqnarray*} z^{2} = 1+i \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} (2) - (3) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} ( x^{2} + y^{2} = \sqrt{2}) \end{eqnarray*}$
- $\begin{eqnarray*} (x^{2} - y^{2} = 1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2y^{2} = \sqrt{2}-1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y =\pm (\sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{2}}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (2) + (3) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} ( x^{2} + y^{2} = \sqrt{2}) \end{eqnarray*}$
+ $\begin{eqnarray*} (x^{2} - y^{2} = 1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2x^{2} = 1+\sqrt{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x =\pm (\sqrt{\frac{1+\sqrt{2}}{2}}) \end{eqnarray*}$

Und damit:
Lösung1: $\begin{eqnarray*} z= \sqrt{\frac{1+\sqrt{2}}{2}} + \sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{2}} i \end{eqnarray*}$
Lösung2: $\begin{eqnarray*} z= -\sqrt{\frac{1+\sqrt{2}}{2}} - \sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{2}} i \end{eqnarray*}$

Für $\begin{eqnarray*} z^{2} = -1-i \end{eqnarray*}$ :
$\begin{eqnarray*} (1) 2xy = -1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (2) x^{2} - y^{2} = -1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (3) x^{2} + y^{2} = \sqrt{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (3) + (2) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (x^{2} + y^{2} = \sqrt{2}) \end{eqnarray*}$
+ $\begin{eqnarray*} (x^{2} - y^{2} = -1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2x^{2} = \sqrt{2}-1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x = \pm(\sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{2}}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (3) - (2) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (x^{2} + y^{2} = \sqrt{2}) \end{eqnarray*}$
- $\begin{eqnarray*} (x^{2} - y^{2} = -1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2y^{2} = \sqrt{2}+1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y = \pm(\sqrt{\frac{\sqrt{2}+1}{2}}) \end{eqnarray*}$

Lösung3: $\begin{eqnarray*} z= \sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{2}} + \sqrt{\frac{1+\sqrt{2}}{2}} i \end{eqnarray*}$
Lösung4: $\begin{eqnarray*} z= -\sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{2}} - \sqrt{\frac{1+\sqrt{2}}{2}} i \end{eqnarray*}$

30.11.2016, 17:19

HAL 9000

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Lösung 1 und 2 sind richtig.

Lösung 3 und 4 sind falsch: Richtig wäre $\begin{eqnarray*} y = \mp(\sqrt{\frac{\sqrt{2}+1}{2}}) \end{eqnarray*}$ gewesen, damit wie gefordert

Zitat:

Original von Hannes12
$\begin{eqnarray*} (1) 2xy = -1 \end{eqnarray*}$

erfüllt ist, d.h., das Produkt der jeweils einander zugeordneten x- und y-Werte negativ wird.

30.11.2016, 18:15

Hannes12

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Ach ja, stimmt. Da hab ich nicht mehr darauf geachtet.
Vielen Dank für eure Hilfe.

Hätte noch eine weitere Gleichung.
Weiß gerade nicht, wie ich die komplex Konjugierte am besten darstellen soll. Deswegen hab ich mal das Vektorsymbol dafür verwendet.
Also: $\begin{eqnarray*} \vec{x} \end{eqnarray*}$ ist die komplex Konjugierte von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$

Gleichung:
$\begin{eqnarray*} \vec{z} * z = \frac{z - \vec{z}}{2i} \end{eqnarray*}$

Hätte mal damit angefangen : $\begin{eqnarray*} \vec{z} * z \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} x^{2} + y^{2} \end{eqnarray*}$ zu ersetzen
und $\begin{eqnarray*} z - \vec{z} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} (x+yi)-(x-yi) \end{eqnarray*}$ zu ersetzen
=>
$\begin{eqnarray*} x^{2} + y^{2} = \frac{(x+yi)-(x-yi) }{2i} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x^{2} + y^{2} = \frac{x+yi-x+yi) }{2i} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x^{2} + y^{2} = \frac{2yi}{2i} \end{eqnarray*}$

Ab hier fällt mir nichts mehr "sinnvolles" ein mit dem ich weiter komme.

30.11.2016, 18:33

HAL 9000

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Na die $\begin{align*} 2i \end{align*}$ wirst du wohl noch kürzen können. Es verbleibt $\begin{align*} x^2+y^2 = y \end{align*}$ , und das ist nach leichten Umformungen eine spezielle Kreisgleichung.

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