Schwerpunkt berechnen

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30.11.2016, 09:10

MathNoob28

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Schwerpunkt berechnen

Bei der 29 a muss ich den Schwerpunkt berechnen. Mir ist dabei nicht ganz klar wie ich auf die Massendichte komme?

30.11.2016, 09:38

klarsoweit

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RE: Schwerpunkt berechnen
Die Massendichte wird typischerweise vorgegeben. Bei einer homogenen Masse ist diese konstant. Ich würde dann einfach dafür $\begin{eqnarray*} \rho \end{eqnarray*}$ nehmen. smile

30.11.2016, 10:02

MathNoob28

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RE: Schwerpunkt berechnen
Ich muss doch dann die Masse erstmal berchnen als Kurvenintegral über die Massendichte.
Meine Kurve ist schon parametrisiert.
Ich tue mich dann schwer mit dem einsetzen. Kommt dann am Ende eine Zahl multipliziert mit Massendichte rho heraus? LOL Hammer

30.11.2016, 10:17

klarsoweit

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RE: Schwerpunkt berechnen
Das würde ich so erwarten. Du mußt doch jetzt nur noch die Integrale ausrechnen. smile

01.12.2016, 10:14

MathNoob28

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RE: Schwerpunkt berechnen
Also man hat doch dann folgendes:

$\begin{eqnarray*} c(t)=\begin{pmatrix} r cost \\ r sint\\ ht\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und

$\begin{eqnarray*} \dot{c} (t)= \begin{pmatrix} -r sint \\ r cost \\ h \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

dann $\begin{eqnarray*} ||\dot{c}(t)||= \sqrt{r^2 sin^2 t + r^2 cos^2 t + h^2} =\sqrt{r^2+ h^2} \end{eqnarray*}$

Länge der Kurve : $\begin{eqnarray*} L(c)=\int_{0}^{\frac{3}{2} \pi h} \sqrt{r^2 + h^2} \! \, dt = t \sqrt{r^2 + h^2} |_0^{\frac{3}{2} \pi h}= \frac{3}{2} \pi h \sqrt{r^2 + h^2} \end{eqnarray*}$

Dann Masse: $\begin{eqnarray*} M=\int_{0}^{\frac{3}{2} \pi h} \! \rho( c(t))||\dot{c}(t)|| \, dt = \rho \frac{3}{2} \pi h \sqrt{r^2 + h^2} \end{eqnarray*}$

Schwerpunkt:

$\begin{eqnarray*} s_x= \int_{0}^{\frac{3}{2} \pi h}\rho( c(t))c_x(t)||\dot{c}(t)|| dt = \int_{0}^{\frac{3}{2} \pi h} \! \rho (r cos t ) \sqrt{r^2 + h^2} dt = sin ({\frac{3}{2} \pi h}) \sqrt{r^2 + h^2} r \rho \end{eqnarray*}$

Die anderen Komponenten würde ich dann analog machen.

Ich hoffe, jmd kann da mal drüberschauen , ob das richtig ist. Bin neu in diesem Thema. Würde mich über Feedback freuen smile

01.12.2016, 12:13

klarsoweit

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RE: Schwerpunkt berechnen
Die obere Integralgrenze ist $\begin{eqnarray*} \frac 3 2 \pi \end{eqnarray*}$ , nicht $\begin{eqnarray*} \frac 3 2 \pi h \end{eqnarray*}$ .

Und bei s_x muß natürlich noch der Faktor 1/M davor. smile

01.12.2016, 15:54

MathNoob28

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RE: Schwerpunkt berechnen
Also dann ist die Masse $\begin{eqnarray*} M=\int_{0}^{\frac{3}{2}\pi } \! \rho(c(t))||\dot{c}(t)|| \, dt = \frac{3}{2}\pi \rho \sqrt{r^2+h^2} \end{eqnarray*}$

Dann ist der Schwerpunkt:

$\begin{eqnarray*} s_x= \frac{1 }{\frac{3}{2}\pi\rho \sqrt{r^2+h^2} } \cdot\int_{0}^{\frac{3}{2}\pi } \! \rho(c(t))c_x(t)||\dot{c}(t)|| \, dt = \frac{1 }{\frac{3}{2}\pi \rho\sqrt{r^2+h^2} } sin(\frac{3}{2} \pi) \sqrt{r^2+h^2} r \rho= -\frac{2}{3 \pi} r \end{eqnarray*}$

Ist es jetzt richtig??

01.12.2016, 16:00

klarsoweit

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RE: Schwerpunkt berechnen
Ich habe keine Einwände. smile

01.12.2016, 18:10

MathNoob28

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RE: Schwerpunkt berechnen
Perfekt smile

Die anderen Schwerpunkte gehen ja genauso. Muss ich dann noch was zusammemfassen, also die drei Schwerpunkte.

Und noch eine Frage: Wie muss ich bei Aufgabe b) von meinem geposteten Aufgabenblatt genau rechnen. Irgendwie fehlt mir da der Ansatz???

01.12.2016, 20:35

Hausmann

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Ganz am Rande:

Es handelt sich genaugenommen nicht um "Schwerpunkte", sondern nur um Massenmittelpunkte.

02.12.2016, 10:29

klarsoweit

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RE: Schwerpunkt berechnen

Zitat:

Original von MathNoob28
Und noch eine Frage: Wie muss ich bei Aufgabe b) von meinem geposteten Aufgabenblatt genau rechnen. Irgendwie fehlt mir da der Ansatz???

Nun ja, du müßtest da die Integrale über die Kurven C_1 und C_2 ausrechnen.

02.12.2016, 16:26

MathNoob28

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RE: Schwerpunkt berechnen
ok das muss ich gleich probieren. Ich habe noch eine Frage zu meiner Rechnung für die Aufgabe a)

Die Massendichte ist doch $\begin{eqnarray*} \rho(c(t)) \end{eqnarray*}$

muss ich dann nicht egtl $\begin{eqnarray*} \rho \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} c(t) \end{eqnarray*}$ einsetzten und dann erhalte ich sowas wie $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} r cos \rho\\ r sin\rho \\ h \rho \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Was denke ich da falsch oder stimmt das? Hammer

02.12.2016, 17:11

MathNoob28

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RE: Schwerpunkt berechnen
Also dann zur b.

1. Kurve: $\begin{eqnarray*} ||\dot{c_1}(t)||= t \end{eqnarray*}$

Dann Masse: $\begin{eqnarray*} M_1= \int_{0}^{1,8} \! 32 t \, dt = 51,84 \end{eqnarray*}$
Schwerpunkt in x ist 0.

Schwerpunkt in y: $\begin{eqnarray*} s_y= \frac {\int_{0}^{1,8} \! 32 t \cdot t \, dt = 62,208} {51.48}= 1,21 \end{eqnarray*}$

Ist das richtig für die 1. Kurve?

02.12.2016, 19:26

klarsoweit

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RE: Schwerpunkt berechnen

Zitat:

Original von MathNoob28
Die Massendichte ist doch $\begin{eqnarray*} \rho(c(t)) \end{eqnarray*}$

Genau. Und diese Funktion $\begin{eqnarray*} \rho \end{eqnarray*}$ ordnet einem Punkt c(t) eine Massendichte zu, aber keinen Punkt des R³.

02.12.2016, 20:03

MathNoob28

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RE: Schwerpunkt berechnen
$\begin{eqnarray*} M_2= 2\int_{-4}^{4} \ \sqrt{1+\frac{t^2}{100} } \, dt= \frac{t}{2} \sqrt{1+\frac{t^2}{100}} + \frac {arsinh (\frac{t}{10} )}{2}|_{-4}^4=8,2 \end{eqnarray*}$

dann M_ges=65,8

$\begin{eqnarray*} y_s=\frac{32}{M_1} \int_{0}^{1,8} \!t \, dt + \frac{2}{M_2} \int_{-4}^{4} \!(1,2 - 0,05t^2) \sqrt{1+\frac{t^2}{100} } \, dt \end{eqnarray*}$

Wie löse ich das letzte Integral??

02.12.2016, 20:11

MathNoob28

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RE: Schwerpunkt berechnen
ZU Aufgabe a) Ist meine Rechnung dann nicht falsch für dien Schwerpunkt wenn ich erst rho in c(t) einsetztn muss???

02.12.2016, 22:03

doeka

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RE: Schwerpunkt berechnen
Huhu, du hast einen kleinen Denkfehler drin - du musst nicht rho in c(t) einsetzten sondern umgekehrt.
Also, das müsstest du, wenn rho räumliche Abhängigkeit aufweisen würde. Laut vorgabe soll die Massenverteilung aber homogen, daher rho konstant sein. Also keine Sorge - dein Ergebnis ist richtig^^

Übrigens kommt mir das Aufgabenblatt verdächtig bekannt vor, ich hab grad auch mit b) zu kämpfen Big Laugh

02.12.2016, 22:22

MathNoob28

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RE: Schwerpunkt berechnen
Danke smile

Wo studierst du denn Big Laugh

02.12.2016, 22:25

doeka

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RE: Schwerpunkt berechnen
Im schönen Leipzig. ^^

02.12.2016, 22:26

MathNoob28

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RE: Schwerpunkt berechnen
haha Big Laugh

..Weist du wie man das Integral bei b) löst?

03.12.2016, 11:09

klarsoweit

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RE: Schwerpunkt berechnen

Zitat:

Original von MathNoob28
Schwerpunkt in y: $\begin{eqnarray*} s_y= \frac {\int_{0}^{1,8} \! 32 t \cdot t \, dt = 62,208} {51.48}= 1,21 \end{eqnarray*}$

Ist das richtig für die 1. Kurve?

Hm. Das s_y mußt du doch für beide Kurven zusammen berechnen. Also im Prinzip so etwas:

$\begin{eqnarray*} s_y = \frac{1}{M_1 + M_2} \cdot \left(\int_{C_1}y \rho((x,y)) ~ds + \int_{C_2}y \rho((x,y)) ~ds \right) \end{eqnarray*}$

Dasselbe gilt für s_x.

Zitat:

Original von MathNoob28
$\begin{eqnarray*} y_s=\frac{32}{M_1} \int_{0}^{1,8} \!t \, dt + \frac{2}{M_2} \int_{-4}^{4} \!(1,2 - 0,05t^2) \sqrt{1+\frac{t^2}{100} } \, dt \end{eqnarray*}$

Wie löse ich das letzte Integral??

Siehe oben. Die Berechnung von s_y ist so nicht korrekt. Was das 2. Integral angeht, hilft ein Blick in den Bronstein:

$\begin{eqnarray*} \int x^2 \sqrt{x^2+ a^2} ~dx = \frac x 4 \sqrt{(x^2+ a^2)^3} - \frac{a^2}{8} \cdot \left(x \sqrt{x^2+ a^2} + a^2 arsinh(\frac x a) \right) + C \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von MathNoob28
$\begin{eqnarray*} M_2= 2\int_{-4}^{4} \ \sqrt{1+\frac{t^2}{100} } \, dt = \frac{t}{2} \sqrt{1+\frac{t^2}{100}} + \frac {arsinh (\frac{t}{10} )}{2}|_{-4}^4=8,2 \end{eqnarray*}$

Hm. Bei mir ist $\begin{eqnarray*} M_2= 2\int_{-4}^{4} \sqrt{1+\frac{t^2}{100} } \, dt = 2 \cdot \left[\frac{t}{2} \sqrt{1+\frac{t^2}{100}} + 10 \cdot \frac {arsinh (\frac{t}{10} )}{2} \right]_{-4}^4 \end{eqnarray*}$ .

03.12.2016, 11:25

MathNoob28

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RE: Schwerpunkt berechnen
Wo kommt der Faktor 10 vor dem arsinh her bei M_2?

Wieso kann ich s_y so nicht berechnen. Was muss ich machen?

Ich habe den Bronstein nicht. Wie könnte ich das Integral Schritt für Schritt lösen?

Danke erstmal für deine Antwort smile

03.12.2016, 11:34

klarsoweit

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RE: Schwerpunkt berechnen

Zitat:

Original von MathNoob28
Wo kommt der Faktor 10 vor dem arsinh her bei M_2?

Das habe ich aus der Integralformel vom Bronstein. Ich hoffe, das habe ich richtig abgeschrieben. Am besten bildest du mal die Ableitung. Dann müßte ja dein Integral herauskommen.

Zitat:

Original von MathNoob28
Wieso kann ich s_y so nicht berechnen. Was muss ich machen?

Dazu hatte ich schon etwas gesagt:

Zitat:

Original von klarsoweit
Das s_y mußt du doch für beide Kurven zusammen berechnen. Also im Prinzip so etwas:

$\begin{eqnarray*} s_y = \frac{1}{M_1 + M_2} \cdot \left(\int_{C_1}y \rho((x,y)) ~ds + \int_{C_2}y \rho((x,y)) ~ds \right) \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von MathNoob28
Ich habe den Bronstein nicht. Wie könnte ich das Integral Schritt für Schritt lösen?

Das kann mühselig werden. Ab einem gewissen Punkt muß man auch mal auf ein Tabellenwerk zurückgreifen.

Ich klinke mich jetzt mal aus. Muß noch einen Fußboden lackieren. Big Laugh

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