Christoffel-Symbole

30.11.2016, 14:18	Heixoide	Auf diesen Beitrag antworten »
Christoffel-Symbole Hallo miteinander Ich habe die folgende Funktion gegeben: f(t, u) = ( r(t) cos(u), r(t) sin(u), z(t) ) und möchte zeigen, dass das erste Christoffel-Symbol gegeben ist durch: $\begin{eqnarray} I^1_{11} = \frac{r' r'' + z' z''}{(r')^2 + (z')^2} \end{eqnarray}$ Ich habe eigentlich schon alles notwendige berechnet, weiss aber nicht, warum hier plötzlich die zweite Ableitung ins Spiel kommt. Hier was ich bisher habe (es sollte soweit stimmen): g_11 = r'^2 + z'^2 g_12 = g_21 = 0 g_22 = r^2 g = r^2r'^2 + r^2z'^2 Im Grunde könnte ich nun das erste Christoffel-Symbol ja einfach hinschreiben, allerdings komme ich deswegen nicht plötzlich auf die zweite Ableitung... Danke für jede Hilfe!
02.12.2016, 12:33	Helixoide	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich mache es noch etwas leserfreundlicher: $\begin{eqnarray} g_{11} = r'^2 + z'^2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} g_{12} = g_{21} = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} g_{22} = r^2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} g = r^2 \cdot r'^2 + r^2 \cdot z'^2 \end{eqnarray}$
02.12.2016, 13:40	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich rechne dir mal vor, wie man auf das Christoffelsymbol $\begin{eqnarray} \Gamma_{11}^1 \end{eqnarray}$ kommt. Gegeben ist eine gekrümmte Fläche, die in den 3-dimensionalen Raum eingebettet ist. $\begin{eqnarray} \vec x(p^1,p^2)=\begin{pmatrix} r(p^1)\cos(p^2) \\ r(p^1)\sin(p^2) \\ z(p^1) \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Für die beiden Flächenparameter (also die kontravarianten Koordinaten) habe ich folgende Bezeichnung verwendet $\begin{eqnarray} t=p^1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} u=p^2 \end{eqnarray}$ Die Christoffelsymbole sind bekanntlich folgende Skalarprodukte $\begin{eqnarray} \Gamma_{ij}^k=\vec g^k\cdot \frac{\partial \vec g_i}{\partial p^j} \end{eqnarray}$ Wir benötigen also die kontravarianten Tangentialvektoren $\begin{eqnarray} \vec g^k \end{eqnarray}$ und die kovarianten Tangentialvektoren $\begin{eqnarray} \vec g_i \end{eqnarray}$ . Diese müssen wir zuerst berechnen. Letztere sind die Ableitungen der oben gegebenen Fläche nach den kontravarianten Koordinaten $\begin{eqnarray} p^1, p^2 \end{eqnarray}$ , also $\begin{eqnarray} \vec g_1=\tfrac{\partial \vec x}{\partial p^1}=\begin{pmatrix} \tfrac{\partial r}{\partial p^1}\cos(p^2) \\ \tfrac{\partial r}{\partial p^1}\sin(p^2) \\ \tfrac{\partial z}{\partial p^1} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \vec g_2=\tfrac{\partial \vec x}{\partial p^2}=\begin{pmatrix} -r\sin(p^2) \\ r\cos(p^2) \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Die kovariante Metrik ist eine symmetrische 2x2-Matrix, deren 4 Matrixelemente die Skalarprodukte der obigen kovarianten Tangentialvektoren sind, also $\begin{eqnarray} g_{ij}=\begin{pmatrix} \frac{\partial \vec x}{\partial p^1}\cdot \frac{\partial \vec x}{\partial p^1} & \frac{\partial \vec x}{\partial p^1}\cdot \frac{\partial \vec x}{\partial p^2} \\ \frac{\partial \vec x}{\partial p^2}\cdot \frac{\partial \vec x}{\partial p^1} & \frac{\partial \vec x}{\partial p^2}\cdot \frac{\partial \vec x}{\partial p^2} \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} \left ( \tfrac{\partial r}{\partial p^1}\right )^2+\left ( \tfrac{\partial z}{\partial p^1}\right )^2 & 0 \\ 0 & r^2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Die kontravariante Metrik ist die Inverse der kovarianten Metrik, also $\begin{eqnarray} g^{ij}=\begin{pmatrix} \frac{\partial \vec x}{\partial p^1}\cdot \frac{\partial \vec x}{\partial p^1} & \frac{\partial \vec x}{\partial p^1}\cdot \frac{\partial \vec x}{\partial p^2} \\ \frac{\partial \vec x}{\partial p^2}\cdot \frac{\partial \vec x}{\partial p^1} & \frac{\partial \vec x}{\partial p^2}\cdot \frac{\partial \vec x}{\partial p^2} \end{pmatrix}^{-1} =\begin{pmatrix} \tfrac{1}{\left ( \tfrac{\partial r}{\partial p^1}\right )^2+\left ( \tfrac{\partial z}{\partial p^1}\right )^2} & 0 \\ 0 & \tfrac{1}{r^2} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Die benötigten kontravarianten Basisvektoren ergeben sich durch Multitplikation der kovarianten Basisvektoren mit der kontravarianten Metrik gemäß $\begin{eqnarray} \vec g^i=g^{ij}\vec g_j \end{eqnarray}$ . Ausführlich heißt das $\begin{eqnarray} \vec g^1=g^{11}\vec g_1+g^{12}\vec g_2=\tfrac{1}{\left ( \tfrac{\partial r}{\partial p^1}\right )^2+\left ( \tfrac{\partial z}{\partial p^1}\right )^2}\cdot \begin{pmatrix} \tfrac{\partial r}{\partial p^1}\cos(p^2) \\ \tfrac{\partial r}{\partial p^1}\sin(p^2) \\ \tfrac{\partial z}{\partial p^1} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \vec g^2=g^{21}\vec g_1+g^{22}\vec g_2=\tfrac{1}{r^2}\cdot \begin{pmatrix} -r\sin(p^2) \\ r\cos(p^2) \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Nun können wir alle Christoffensymbole $\begin{eqnarray} \Gamma_{ij}^k=\vec g^k\cdot \tfrac{\partial \vec g_i}{\partial p^j} \end{eqnarray}$ leicht berechnen. Zum Beipsiel lautet das gesuchte Christoffelsymbol $\begin{eqnarray} \Gamma_{11}^1=\vec g^1\cdot \frac{\partial \vec g_1}{\partial p^1}=\underbrace{\tfrac{1}{\left ( \tfrac{\partial r}{\partial p^1}\right )^2+\left ( \tfrac{\partial z}{\partial p^1}\right )^2}\cdot \begin{pmatrix} \tfrac{\partial r}{\partial p^1}\cos(p^2) \\ \tfrac{\partial r}{\partial p^1}\sin(p^2) \\ \tfrac{\partial z}{\partial p^1} \end{pmatrix}}_{\vec g^1}\cdot \underbrace{\begin{pmatrix} \tfrac{\partial^2 r}{\partial p^1 \partial p^1}\cos(p^2) \\ \tfrac{\partial^2 r}{\partial p^1 \partial p^1}\sin(p^2) \\ \tfrac{\partial^2 z}{\partial p^1 \partial p^1} \end{pmatrix}}_{\tfrac{\partial \vec g_1}{\partial p^1}}=\tfrac{\tfrac{\partial r}{\partial p^1}\tfrac{\partial^2 r}{\partial p^1 \partial p^1}+\tfrac{\partial z}{\partial p^1}\tfrac{\partial^2 z}{\partial p^1 \partial p^1}}{\left ( \tfrac{\partial r}{\partial p^1}\right )^2+\left ( \tfrac{\partial z}{\partial p^1}\right )^2} \end{eqnarray}$ Das ist das Ergebnis, das du suchst. Bis Montag.
03.12.2016, 00:05	Helixoide	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank für die gute und einleuchtende Erklärung!

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