Existenz irreduzibler Polynome beliebigen Grades in K[X], char(K)>0?

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RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »
Existenz irreduzibler Polynome beliebigen Grades in K[X], char(K)>0?
Meine Frage:
Ein endlicher Körper lässt sich ja über mit einem irreduziblen Polynom vom Grad konstruieren. Mir ist gerade kein einfacher Beweis bekannt, warum für jedes ein solches Polynom existieren muss, obwohl ich sicher bin, dass dem so ist. Weiß jemand einen Existenzbeweis? @Elvis?

Meine Ideen:
Bisher keine verwirrt
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Der endliche Körper ist als Zerfällungskörper von über bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt. Als endliche (d.h. ) algebraische Erweiterung seines Primkörpers ist er einfach (d.h. ). Das von dir gesuchte irreduzible Polynom ist das Minimalpolynom des zum Primkörper adjungierten Erzeugers , wobei gilt mit und minimal. ( http://reh.math.uni-duesseldorf.de/~klop...e/end_koerp.pdf / siehe Theorem 2.5, Theorem 3.4, Korollar 3.5 )

Ich gestehe, ich schummle hier bewußt, indem ich nur die Existenz des irreduziblen Polynoms vom Grad nachweise. Die tatsächliche Berechnung eines solchen Polynoms ist Sache der algorithmischen Zahlentheorie. ( http://compilers.cs.uni-saarland.de/publ.../leissa_sem.pdf / siehe 10. zur Konstruktion und zur Abschätzung der Anzahl solcher Polynome). Beachte, dass es i.a. mehrere Erzeuger mit verschiedenen Minimalpolynomen gibt, ist ja nur bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt.
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Danke! Ich werd mir das mal zu Gemüte führen. Gucke gerade
Carlsen-Karjakin Tiebreak
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Es muss auch möglich sein, kombinatorisch zu argumentieren, indem man die reduziblen Polynome n-ten Grades über abzählt und feststellt, dass noch irreduzible im Polynomring liegen müssen.
Mir gefällt der algebraische Zugang, weil ich da nur denken und nicht rechnen muss.Wenn ich müsste, würde ich vollständige Induktion über n versuchen.
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Elvis
Es muss auch möglich sein, kombinatorisch zu argumentieren, indem man die reduziblen Polynome n-ten Grades über abzählt und feststellt, dass noch irreduzible im Polynomring liegen müssen.


Dies Idee hatte ich auch, gefällt mir aber nicht.

Zitat:

Mir gefällt der algebraische Zugang, weil ich da nur denken und nicht rechnen muss.Wenn ich müsste, würde ich vollständige Induktion über n versuchen.


Algebraisch zu argumentieren gefällt mir auf alle Fälle auch am besten. Vollständige Induktion stell ich mir schwierig vor, da die Zerlegung in Polynome kleineren Grades nicht unbedingt eindeutig ist, d.h. unterschiedliche Produktzerlegungen können zum selben Polynom führen. Es geht ja nicht darum, zu zeigen, dass es reduzible Polynome gibt, sondern dass es irreduzible gibt. Ersteres wäre einfach per Induktion.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Auch die Kombinatorik ist hier vermutlich anwendbar - ich starte mal einen Versuch. Sei eine Primzahl, oBdA seien die Polynome aus normiert (assoziierte Ringelemente kann man immer identifizieren). Für gibt es genau Polynome vom Grad 1, sie sind alle irreduzibel. Für gibt es genau Polynome vom Grad 2, reduzibel sind die Produkte aus Polynomen 1. Grades, das sind , also etwa die Hälfte. Das fängt doch ganz gut an ...
Es gibt Polynome n-ten Grades, reduzibel sind die Produkte aus Polynomen niederen Grades. Ich schätze mal ganz mutig, das sind ca. , und jetzt ist nur noch zu zeigen a) dass das stimmt und b) dass das immer kleiner als ist.

OHNE GEWÄHR : Man muss auch die reduziblen Polynome berücksichtigen, die aus mehr als 2 Faktoren bestehen. Insofern ist meine Formel nicht vollständig.

Der algebraische Ansatz gefällt mir immer noch besser Big Laugh
 
 
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