Ist Umkehrabbildung ein Ringisomorphismus?

30.11.2016, 17:14	colourless1	Auf diesen Beitrag antworten »
Ist Umkehrabbildung ein Ringisomorphismus? Meine Frage: Hallo, wir stehen vor einem Problem mit dem Beweis eines Ringisomorphismus. Dazu haben wir folgende Aufgabe: Seien (R, + , ) und (S, (+), ()) [wobei (+) und () andere Verknüpfungen wie + und sind] Ringe mit Einselement und $\begin{eqnarray} f : R \rightarrow S \end{eqnarray}$ ein Ringisomorphismus. Zu zeigen ist, dass $\begin{eqnarray} f^{-1} : S \rightarrow R \end{eqnarray}$ ein Ringisomorphimus ist. Meine Ideen: Die Bijketivität der Umkehrabbildung konnten wir durch einen Satz in der Vorlesung beweisen (da die Abbildung schon ein Ringisomorphismus ist, muss die Umkehrabbildung auch bijektiv sein). Nun müssen wir noch die Ringhomomorphie von $\begin{eqnarray} f^{-1} \end{eqnarray}$ zeigen. Wir haben bis jetzt folgendes: Zu zeigen: $\begin{eqnarray} f^{-1} (a (+) b) = f^{-1}(a) + f^{-1} (b) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} f^{-1} (a () b) = f^{-1}(a) * f^{-1} (b) \end{eqnarray*}$ Wir fragen uns nun, ob die Verknüpfung überhaupt so stimmt (wir sind uns aber ziemlich sicher). Jedoch kommen wir damit leider nicht weiter, da wir nichts über die Verknüfung a (+) b wissen. Wir vermuten, dass wir mit der Injektivität und/oder Surjektivität arbeiten müssen, aber, da es andere Verknüfungen sind, hängen wir hier. Wir sind über jede Hilfe dankbar. Vielen Dank.
30.11.2016, 19:51	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Ansatz ist doch schon ganz vernünftig, und ihr wisst, dass f bijektiv ist, also gibt es in R genau ein a' mit a=f(a') und genau ein b' mit b=f(b'). Damit kommt man durch, weil f ein Ringhomomorphismus ist.
02.12.2016, 15:22	colourless2	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay das heißt wir können auf jeden Falls sagen, dass mit f(a') = a und f(b') = b folgt f(a') * f(b') = a * b. Ist dann f(a' () b) = a () b? (Analog für + und (+) ) Und wenn ja, dann haben wir ja immer noch a () b = a * b stehen und ich weiß ja nicht ob die Verknüpfungen die selben sind oder?
02.12.2016, 17:58	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Tipp: Nicht grübeln und fragen, sondern rechnen: $\begin{eqnarray} \forall a,b \in S:f^{-1}(a(+)b)=f^{-1}(f(a')(+)f(b'))=f^{-1}(f(a'+b'))=(f^{-1}\circ f)(a'+b')=a'+b'=(f^{-1}\circ f)(a')+(f^{-1}\circ f)(b')=f^{-1}(f(a'))+f^{-1}(f(b'))=f^{-1}(a)+f^{-1}(b) \end{eqnarray}$ und dann genau so mit * statt + q.e.d.

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