Schwach konvergente Teilfolgen in l2 |
30.11.2016, 18:31 | Fenistill | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Schwach konvergente Teilfolgen in l2 Hallo zusammen, ich möchte folgende Aufgabe lösen: Ich habe eine Folge mit Elementen in , sodass: gegen ein geht und dass der Grenzwert auch in ist. Meine Ideen: Die Frage ist nun, ob in ? Ich verstehe leider die Notation schon nicht. Ist es so gemeint, dass die die einzelnen Folgenglieder sind (jede Stelle einzeln betrachtet in der Folge)? (Eine Teilfolge wäre ja als notiert, wie ich das kenne...) Zur Lösung der eigentlichen Aufgabe: Ich weiß so spontan nicht, auf welchen speziellen Satz die Aufgabe abzielt. Habt ihr einen Tipp für mich, wie ich an die Aufgabe herangehen kann? Vielen Dank für jede Hilfe!!! Fenistil |
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30.11.2016, 18:37 | Guppi12 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hallo Fenistill, mit ist höchstwahrscheinlich das Folgenglied des -Elements gemeint. Zur Aufgabe gebe ich mal den Tipp, ein Gegenbeispiel zu suchen. Da du es im Titel schon hingeschrieben hast: Die Eigenschaft, die du angibst, ist auf jeden Fall erfüllt, wenn die Folge der schwach konvergiert. Die Frage ist also, ob jede schwach konvergente Folge auch in Norm konvergiert. |
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01.12.2016, 13:41 | Fenistill | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Konvergenz in Norm ist doch die starke Konvergenz oder? Und da gibt es ja die bekannten Sätze, dass aus starker Konvergenz die schwache folgt. Das Gegenteil gilt nicht. Also ist die Antwort: Nein? |
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01.12.2016, 13:44 | Fenistil | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Mir fällt leider spontan kein Gegenbeispiel ein... Die Folge der Einheitsvektoren erfüllt ja die Voraussetzungen, aber leider gilt auch die schwache Konvergenz, also die Behauptung. Wenn du sagst, dass die Behauptung falsch ist, ist das dann leider kein Gegenbeispiel. Hast du denn schon eine im Sinn und kannst sie mir verraten? :-) |
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01.12.2016, 13:57 | Guppi12 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Und konvergiert die Folge der Einheitsvektoren auch in Norm? |
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01.12.2016, 14:00 | Fenistil | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich würde sagen: Die Norm ist immer 1, also konvergiert sie nicht gegen den gleichen Grenzwert (vorher 0). |
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01.12.2016, 14:15 | Guppi12 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Also das impliziert sofort, dass keine Normkonvergenz vorliegen kann, weil sonst der schwache Grenzwert gleich dem starken sein müsste. Man sollte aber eigentlich auch sofort sehen, dass das keine Cauchyfolge ist. |
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01.12.2016, 14:20 | IfindU | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
@Guppi Wenn ich es richtig verstehe, weiß man, dass eine Folge in gegen eine Folge in punktweise konvergiert. Die Frage war, ob das auch die schwache Konvergenz der Folge impliziert. Und das ist schwächer als Normkonvergenz. So erfüllt die Folge der Einheitsvektoren ja die Eigenschaft. Etwas allgemeiner: Wenn die Folge gleichmäßíg beschränkt in ist, so folgt aus punktweiser Konvergenz die schwache. |
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01.12.2016, 14:26 | Fenistil | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
@Guppi: Okay, also nochmal zusammengefasst: Die Folge der Einheitsvektoren ist dann mein . Dann konvergieren die gegen . Aber konvergiert nicht schwach gegen u, weil . Sorry, ich bin etwas verwirrt, weil die Einheitsvektoren in l^2 ja schwach gegen 0 konvergieren, dann ist ja auch das ein Widerspruch zur starken Konvergenz gegen 1... |
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01.12.2016, 14:30 | Fenistil | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
@ IFindU: Also müsste ich als Gegenbeispiel eine nicht gleichmäßig beschränkte Folge in l^2 finden? |
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01.12.2016, 14:31 | Guppi12 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Was meinst du mit ? Erstens konvergiert diese Folge wie gesagt nicht in Norm! Außerdem was soll 1 hier bedeuten? |
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01.12.2016, 14:36 | Fenistil | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ach so, ja stimmt, sorry, hab schon einen langen Tag hinter mir (mit der 1 war natürlich die Norm gemeint). Aber warum soll ich überhaupt die starke Konvergenz einbeziehen? Ich möchte ja etwas zur schwachen zeigen. |
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01.12.2016, 14:49 | IfindU | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Jetzt ist Guppi offline... @Fenistil Genau das. Ich bin mir gerade nicht sicher ob es äquivalent ist, aber notwendig ist die divergierende Norm sicherlich. |
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01.12.2016, 14:53 | Guppi12 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
@IfindU:
Das lese ich als Normkonvergenz. Wenn etwas anderes gemeint ist, ist die Aufgabe fehlerhaft gestellt. |
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01.12.2016, 15:02 | Fenistil | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
@ Guppi12: Nein, die Notation bezeichnet (zumindest in unserer Vorlesung) die schwache Konvergenz. @IFindU: Okay, danke! Leider habe ich jetzt keine Zeit mehr eine Folge zu finden, da gleich schon die Übung ist, aber gut zu wissen, danke!! :-) |
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01.12.2016, 15:02 | IfindU | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Also ich kenne diese Notation als schwache Konvergenz. Wikpedia definiert den Pfeil auch so: Link. Bis jetzt habe ich in keinem Funktionalanalysis-Buch eine andere Definition des "Halbpfeiles" gesehen. Die Frage wäre also wie es bei Fenistil definiert wurde. |
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01.12.2016, 15:04 | Fenistil | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Man lernt nie aus :-) Cool, dass ich auch mal was beibringen konnte hier hihi Liebste Grüße an beide! |
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01.12.2016, 15:05 | Guppi12 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Oh Mist. Ich bin mit dem Handy unterwegs und hab das für einen normalen Pfeil gehalten. Sorry für die Verwirrung. |
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01.12.2016, 15:09 | Guppi12 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Es ist auch hinreichend, da schwach konvergente Folgen automatisch normbeschränkt sind (Banach-Steinhaus). |
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01.12.2016, 15:15 | IfindU | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Natürlich... Danke! |
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