Schwach konvergente Teilfolgen in l2

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Fenistill Auf diesen Beitrag antworten »
Schwach konvergente Teilfolgen in l2
Meine Frage:
Hallo zusammen,

ich möchte folgende Aufgabe lösen:
Ich habe eine Folge mit Elementen in , sodass:
gegen ein geht und dass der Grenzwert auch in ist.


Meine Ideen:
Die Frage ist nun, ob in ?

Ich verstehe leider die Notation schon nicht. Ist es so gemeint, dass die die einzelnen Folgenglieder sind (jede Stelle einzeln betrachtet in der Folge)? (Eine Teilfolge wäre ja als notiert, wie ich das kenne...)

Zur Lösung der eigentlichen Aufgabe:
Ich weiß so spontan nicht, auf welchen speziellen Satz die Aufgabe abzielt. Habt ihr einen Tipp für mich, wie ich an die Aufgabe herangehen kann?

Vielen Dank für jede Hilfe!!!
Fenistil
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Fenistill,

mit ist höchstwahrscheinlich das Folgenglied des -Elements gemeint.

Zur Aufgabe gebe ich mal den Tipp, ein Gegenbeispiel zu suchen.
Da du es im Titel schon hingeschrieben hast: Die Eigenschaft, die du angibst, ist auf jeden Fall erfüllt, wenn die Folge der schwach konvergiert. Die Frage ist also, ob jede schwach konvergente Folge auch in Norm konvergiert.
Fenistill Auf diesen Beitrag antworten »

Konvergenz in Norm ist doch die starke Konvergenz oder?
Und da gibt es ja die bekannten Sätze, dass aus starker Konvergenz die schwache folgt. Das Gegenteil gilt nicht.
Also ist die Antwort: Nein?
Fenistil Auf diesen Beitrag antworten »

Mir fällt leider spontan kein Gegenbeispiel ein...
Die Folge der Einheitsvektoren erfüllt ja die Voraussetzungen, aber leider gilt auch die schwache Konvergenz, also die Behauptung. Wenn du sagst, dass die Behauptung falsch ist, ist das dann leider kein Gegenbeispiel.
Hast du denn schon eine im Sinn und kannst sie mir verraten? :-)
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Und konvergiert die Folge der Einheitsvektoren auch in Norm?
Fenistil Auf diesen Beitrag antworten »

Ich würde sagen: Die Norm ist immer 1, also konvergiert sie nicht gegen den gleichen Grenzwert (vorher 0).
 
 
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Also das impliziert sofort, dass keine Normkonvergenz vorliegen kann, weil sonst der schwache Grenzwert gleich dem starken sein müsste. Man sollte aber eigentlich auch sofort sehen, dass das keine Cauchyfolge ist.
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

@Guppi

Wenn ich es richtig verstehe, weiß man, dass eine Folge in gegen eine Folge in punktweise konvergiert. Die Frage war, ob das auch die schwache Konvergenz der Folge impliziert. Und das ist schwächer als Normkonvergenz. So erfüllt die Folge der Einheitsvektoren ja die Eigenschaft. Etwas allgemeiner: Wenn die Folge gleichmäßíg beschränkt in ist, so folgt aus punktweiser Konvergenz die schwache.
Fenistil Auf diesen Beitrag antworten »

@Guppi:
Okay, also nochmal zusammengefasst:
Die Folge der Einheitsvektoren ist dann mein .
Dann konvergieren die gegen .
Aber konvergiert nicht schwach gegen u, weil .
Sorry, ich bin etwas verwirrt, weil die Einheitsvektoren in l^2 ja schwach gegen 0 konvergieren, dann ist ja auch das ein Widerspruch zur starken Konvergenz gegen 1... verwirrt
Fenistil Auf diesen Beitrag antworten »

@ IFindU:

Also müsste ich als Gegenbeispiel eine nicht gleichmäßig beschränkte Folge in l^2 finden?
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Was meinst du mit ? Erstens konvergiert diese Folge wie gesagt nicht in Norm! Außerdem was soll 1 hier bedeuten?
Fenistil Auf diesen Beitrag antworten »

Ach so, ja stimmt, sorry, hab schon einen langen Tag hinter mir (mit der 1 war natürlich die Norm gemeint).
Aber warum soll ich überhaupt die starke Konvergenz einbeziehen? Ich möchte ja etwas zur schwachen zeigen.
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt ist Guppi offline...

@Fenistil
Genau das. Ich bin mir gerade nicht sicher ob es äquivalent ist, aber notwendig ist die divergierende Norm sicherlich.
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

@IfindU:

Zitat:
Die Frage ist nun, ob in ?


Das lese ich als Normkonvergenz. Wenn etwas anderes gemeint ist, ist die Aufgabe fehlerhaft gestellt.
Fenistil Auf diesen Beitrag antworten »

@ Guppi12:
Nein, die Notation bezeichnet (zumindest in unserer Vorlesung) die schwache Konvergenz.
@IFindU:
Okay, danke! Leider habe ich jetzt keine Zeit mehr eine Folge zu finden, da gleich schon die Übung ist, aber gut zu wissen, danke!! :-)
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich kenne diese Notation als schwache Konvergenz. Wikpedia definiert den Pfeil auch so: Link.

Bis jetzt habe ich in keinem Funktionalanalysis-Buch eine andere Definition des "Halbpfeiles" gesehen. Die Frage wäre also wie es bei Fenistil definiert wurde.
Fenistil Auf diesen Beitrag antworten »

Man lernt nie aus :-) Cool, dass ich auch mal was beibringen konnte hier hihi
Liebste Grüße an beide!
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Oh Mist. Ich bin mit dem Handy unterwegs und hab das für einen normalen Pfeil gehalten.
Sorry für die Verwirrung.
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Genau das. Ich bin mir gerade nicht sicher ob es äquivalent ist, aber notwendig ist die divergierende Norm sicherlich


Es ist auch hinreichend, da schwach konvergente Folgen automatisch normbeschränkt sind (Banach-Steinhaus).
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Guppi12
Es ist auch hinreichend, da schwach konvergente Folgen automatisch normbeschränkt sind (Banach-Steinhaus).


Natürlich... Danke! Wink
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