Spektralnorm Rang 1

30.11.2016, 19:51	LuckyL	Auf diesen Beitrag antworten »
Spektralnorm Rang 1 Meine Frage: Hallo ich hab folgendes im Wikipedia bei der Spektralnorm gefunden (siehe Bild anhang) jetzt verstehe ich aber nicht ganz wie man von der zweiten zeile auf die erste kommen soll Meine Ideen: Grundsätzlich kann man ja statt dem H auch T schreiben wenn man sich im Reellen befindet.. $\begin{eqnarray} A^HA = ... = (x^Hx)(yy^H)=\sum\limits_{k=1}^{n} \| x_k \|^2 \sum\limits_{k=1}^{m} \| y_k \|^2 = \sum\limits_{k=1}^{n} \sum\limits_{j=1}^{m} \| x_k y_j \|^2 =(\|\| x \|\|_2 \|\| y \|\|_2)^2 \end{eqnarray}$ aber woher weiß man jetzt das deshalb folgendes gilt? $\begin{eqnarray} <br /> \|\| x \|\|_2 \|\| y \|\|_2 = \|\| A \|\|_2 \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} A = xy^T \end{eqnarray}$ bzw. stimmt alles so wie ich es gemacht habe?
30.11.2016, 21:34	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Spektralnorm Rang 1 Ich würde direkt mit $\begin{eqnarray} \\|Au\\|_2=u^TA^TAu=u^T(yx^T)(xy^T)u \end{eqnarray}$ anfangen und das Assoziativgesetz bemühen. Dann spart man sich den Ausflug über den Eigenwert.
04.12.2016, 17:16	LuckLy	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich glaube das etwas damit zu tun hat das die Matrix rang 1 hat , aber ich versteh einfach nicht wie die matrix AA^t dann einen Eigenwert besitzt der genau der Norm 2 von x und y ist
05.12.2016, 22:53	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn du partout den Weg über Eigenwerte gehen willst, schau dir die EW-Gleichung $\begin{eqnarray} A^TAu=\lambda u \end{eqnarray}$ an und folgere zunächst, dass $\begin{eqnarray} u\in span(y) \end{eqnarray}$ sein muss. Das dann wieder eingesetzt ergibt $\begin{eqnarray} \lambda =\\|x\\|_2^2\\|y\\|_2^2 \end{eqnarray}$ . Aus $\begin{eqnarray} Rang(A^TA)=1 \end{eqnarray}$ folgt zunächst eine Aussage über die Dimension des Kerns und damit eine Aussage über die Vielfachheit des Eigenwertes Null.

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