Folge richtig aufschreiben

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30.11.2016, 19:33	Mathekevin	Auf diesen Beitrag antworten »
Folge richtig aufschreiben Meine Frage: Gesucht wird eine reelle Folge ( $\begin{eqnarray} a_{n} \end{eqnarray}$ ), mit den Häufungspunkten $\begin{eqnarray} \left\{ a_{n}, a_{n}, ..., a_{n} \right\} \end{eqnarray}$ und einem vorgegebenen $\begin{eqnarray} k\in\mathbb N \end{eqnarray}$ . Meine Ideen: Ich möchte die Folge $\begin{eqnarray} a_{n} \end{eqnarray}$ = (1,1,2,1,2,3,1,2,3,4,...) angeben. Kann mir jmnd. Tipps geben, wie ich das formal richtig aufschreibe (z.B. anhand eines anderen Beispiels)?
30.11.2016, 19:44	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Überprüfe nochmal deine Frage. Die Menge der Häufungspunkte macht jedenfalls keinen Sinn. Und wozu das $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ ?
30.11.2016, 19:47	Mathekevin	Auf diesen Beitrag antworten »
Oh, natürlich... mit den Häufungspunkten $\begin{eqnarray} \left\{ x_{1}, x_{2}, ..., x_{k} \right\} \end{eqnarray*}$
30.11.2016, 19:52	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Deine angegebene Folge hätte jede natürliche Zahl als Häufungspunkt (jede natürliche Zahl wird unendlich oft als Wert angenommen). Die Menge der Häufungspunkte soll aber endlich sein. Nehmen wir mal ein konkretes Beispiel: Kannst du eine Folge angeben, die die Häfungspunkte 1 und 2 hat?
30.11.2016, 20:06	Mathekevin	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \left(a_{n} \right) = \frac{3- (-1)^{n} }{2} \end{eqnarray}$
30.11.2016, 20:09	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist richtig. Bei mehr als zwei Häufungspunkten wirst du aber sicherlich nicht mehr so einen einfachen Ausdruck für die Folge finden. Hast du eine Idee, wie man das noch anders aufschreiben könnte (z.B. mit einer Fallunterscheidung für n gerade/ungerade)?
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30.11.2016, 20:14	Mathekevin	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \left(a_{n} \right) = \begin{pmatrix} 1 & & falls & n & gerade, \\ 2 & & falls & n & ungerade. \end{pmatrix} \end{eqnarray}$
30.11.2016, 20:16	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau. Fällt dir jetzt auch eine Folge mit den drei Häufungspunkten 1, 2 und 3 ein?
30.11.2016, 20:35	Mathekevin	Auf diesen Beitrag antworten »
z.B. die Sinusfunktion. Nur weiß ich nicht, wie man das dann aufschreibt.
30.11.2016, 20:40	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Sinus nimmt nur Werte zwischen -1 und 1 an. Die Folge $\begin{eqnarray} (\sin(n))_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray}$ hat als Häufungspunkte alle Zahlen zwischen -1 und 1. Das passt hier also nicht. Oben hattest du doch eine Folge, die abwechselnd die beiden Werte 1 und 2 annimmt. Wie könnte man das denn jetzt verändern, wenn man zusätzlich den Häufungspunkt 3 haben will?
30.11.2016, 20:59	Mathekevin	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} a_{n} = \end{eqnarray}$ (n mod 3) + 1 Also: $\begin{eqnarray} a_{n} = \begin{pmatrix} 1 & & falls & n & mod & 3 & = & 0, \\ 2 & & falls & n & mod & 3 & = & 1, \\ 3 & & falls & n & mod & 3 & = & 2. \end{pmatrix} \end{eqnarray}$
30.11.2016, 21:01	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Das sieht doch schon gut aus. Jetzt kannst du sicher (nach dem gleichen Prinzip) auch für ein beliebiges $\begin{eqnarray} k\in\mathbb N \end{eqnarray}$ eine Folge angeben, die die Häufungspunkte 1, 2, ..., k hat.
30.11.2016, 21:02	Mathekevin	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} a_{n} = \end{eqnarray}$ (n mod k) + 1
30.11.2016, 21:10	Mathekevin	Auf diesen Beitrag antworten »
Mich würde dennoch interessieren, wie ich die Folge $\begin{eqnarray} a_{n} \end{eqnarray}$ = (1,1,2,1,2,3,1,2,3,4,...) korrekt angebe.
30.11.2016, 21:45	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, passt. Jetzt willst du eine Folge haben, die nicht die Häufungspunkte 1, ..., k hat, sondern $\begin{eqnarray} x_1, ..., x_k \end{eqnarray}$ . Wie kann man das machen? Zu deiner anderen Folge: Genau dann, wenn $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ eine Dreieckszahl, ist $\begin{eqnarray} a_{n+1}=1 \end{eqnarray}$ . Die m-te Dreieckszahl ist $\begin{eqnarray} \Delta_m:=\sum_{j=1}^m j=\frac{m(m+1)}{2} \end{eqnarray}$ . Man könnte das dann so schreiben: $\begin{eqnarray} a_n=n-\Delta_{m(n)} \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} m(n)\in\mathbb N \end{eqnarray}$ die eindeutig bestimmte natürliche Zahl mit $\begin{eqnarray} \Delta_{m(n)}<n\leq \Delta_{m(n)+1} \end{eqnarray}$ ist. (D.h. $\begin{eqnarray} \Delta_{m(n)} \end{eqnarray}$ ist die größte Dreieckszahl, die kleiner als $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ ist.)
30.11.2016, 22:00	Mathekevin	Auf diesen Beitrag antworten »
Also $\begin{eqnarray} a_{n} = \end{eqnarray}$ ( $\begin{eqnarray} x_{n} \end{eqnarray}$ mod $\begin{eqnarray} x_{k} \end{eqnarray}$ )?
30.11.2016, 22:06	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Die $\begin{eqnarray} x_1, ..., x_k \end{eqnarray}$ müssen keine ganzen Zahlen sein, deswegen muss $\begin{eqnarray} x_n\mod x_k \end{eqnarray}$ nicht unbedingt ein sinnvoller Ausdruck sein. Und selbst wenn, würdest du damit nicht die gewünschte Folge erhalten. Vielleicht mal die Folge von oben mit Fallunterscheidungen: $\begin{eqnarray} a_n=\begin{cases} 1 & \text{ falls } n\mod k=0 \\ 2 & \text{ falls } n\mod k=1 \\ ... \\ k & \text{ falls } n\mod k=k-1 \end{cases} \end{eqnarray}$ Die Fälle, in die unterschieden wird, bleiben dieselben. Du musst nur die Werte ändern, die die Folge jeweils annimmt.
30.11.2016, 22:28	Mathekevin	Auf diesen Beitrag antworten »
So?: $\begin{eqnarray} a_n=\begin{cases} x_1 & \text{ falls } n\mod k=0 \\ x_2 & \text{ falls } n\mod k=x_1 \\ ... \\ x_k & \text{ falls } n\mod k= x_k-1 \end{cases} \end{eqnarray}$
30.11.2016, 22:34	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie schon gesagt, müssen die $\begin{eqnarray} x_i \end{eqnarray}$ keine ganzen Zahlen sein. Was soll denn dann z.B. $\begin{eqnarray} n\mod k=x_1 \end{eqnarray}$ bedeuten? Richtig wäre $\begin{eqnarray} a_n=\begin{cases} x_1 & \text{ falls } n\mod k=0 \\ x_2 & \text{ falls } n\mod k=1 \\ ... \\ x_k & \text{ falls } n\mod k= k-1 \end{cases} \end{eqnarray}$ Oder eine kürzere Möglichkeit: $\begin{eqnarray} \tilde a_n=x_{n\text{ mod }k} \end{eqnarray}$ Diese Folge hat zwar einen anderen Startwert, nämlich $\begin{eqnarray} \tilde a_1=x_1 \end{eqnarray}$ , aber das Prinzip ist dasselbe.
30.11.2016, 22:42	Mathekevin	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} a_{n} \end{eqnarray}$ wäre also $\begin{eqnarray} a_{n} \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} x_{n\text{ mod }k + 1} \end{eqnarray}$ und hätte den Startwert $\begin{eqnarray} a_{2} \end{eqnarray}$ , ist das richtig?
30.11.2016, 22:43	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja.
30.11.2016, 22:44	Mathekevin	Auf diesen Beitrag antworten »
Super! Danke, dass du dir die Zeit genommen hast mir zu helfen.

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