Grenzwert einer Folge mit e bestimmen

01.12.2016, 00:38	cucumi	Auf diesen Beitrag antworten »
Grenzwert einer Folge mit e bestimmen Meine Frage: Meine Aufgabe ist es von dieser definierten Folge $\begin{eqnarray} a_{n} \end{eqnarray}$ den Grenzwert zu bestimmen: (siehe Bild!) Meine Ideen: Also ich weiß vom Einsetzen mit dem Taschenrechner und auch von meiner Skizze , dass der Grenzwert 0 sein muss. Leider habe ich keine Ahnung wie man das nachweisen soll. Ebenfalls habe ich versucht die Folge umzuformen, doch weiter hat es mir auch nicht geholfen: $\begin{eqnarray} a_{n} \end{eqnarray}$ = ( $\begin{eqnarray} n^{2} \end{eqnarray}$ +3n+4 ) $\begin{eqnarray} e^{\frac{1}{2n}} \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} n^{2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} e^{\frac{1}{2n}} \end{eqnarray}$ + 3n $\begin{eqnarray} e^{\frac{1}{2n}} \end{eqnarray}$ + 4 $\begin{eqnarray} e^{\frac{1}{2n}} \end{eqnarray}$ . Danke im voraus für die Hilfe.
01.12.2016, 01:50	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Mit 3 mal L'Hospital geht's ... mY+
01.12.2016, 06:28	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Darstellungen in der Graphik und der Rechnung stimmen nicht überein: $\begin{align} e^{\frac{1}{2n}} \neq \frac{1}{\operatorname{e}^{\sqrt{n}}} \end{align}$
01.12.2016, 09:51	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Über $\begin{align} a_n = f\left(\sqrt{n}\right) \end{align}$ mit $\begin{align} f(x):=\frac{x^4+3x^2+4}{e^x} \end{align}$ ordnet sich das in das wohlbekannte $\begin{align} \lim_{x\to\infty} \frac{x^b}{a^x} = 0 \end{align}$ für alle reellen $\begin{align} a,b \end{align}$ mit $\begin{align} a>1 \end{align}$ ("Potenzfunktionen wachsen langsamer als Exponentialfunktionen") ein.
02.12.2016, 20:15	cucumi	Auf diesen Beitrag antworten »
Diese Regel von L'Hospital hatte ich leider noch nicht... Oh ups, stimmt . Aber e^(n^1/2) ist doch richtig? Aber was eig wichtiger ist, ist ob mir die Umformungen überhaupt weiterbringen... Das Potenzfunktionen langsamer wachsen als Exponentialfunktionen ist mir ja klar, nur hatten wir das in der Vorlesung noch nicht als Satz. Ich glaub genau das muss ich in der Hausaufgabe beweisen.
03.12.2016, 12:30	cucumi	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, habs rausbekommen
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