Bogenlängenfunktionen gesucht

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GOLFMKI Auf diesen Beitrag antworten »
Bogenlängenfunktionen gesucht
Hallo,

folgende "Problematik". Ich soll des Öfteren in der Uni meine Kurvenlängen bei gegebener Parametrisierung bestimmen. Oftmals sind die Rechnungen ekelhaft (für mein Empfinden), da Additionstheoreme etc. angewendet werden müssen und es rechenfehleranfällig ist.

Nun meine Überlegung: zu sämtlichen bekannten Parametrisierungen die passenden Bogenlängenfunktion herauszusuchen. Um mir die Rechenarbeit zu sparen. smile
Folgende Parametrisierungen habe ich bereits:
1) Wurzelfunktion
2)Hängebrücke
3)Strecken
4)Neilsche Parabel
5)gestreckte Parabel
6)Kettenlinien
7)deformierte Einheitskreis
8)Zykloiden (Epi,Kardioide,Epi,Hypo,Konchoide)
9)Spiralen
10)Nephride
11)Schraubenlinie
12)Arbelos
13)Lemniskate
14)Ellipse

Nun habe ich folgenden Nachteil meiner Überlegung. Ich finde von fast keiner Parametriserung die fertige Bogenlängenfunktion.
Kann mit hier jemand helfen?

Vielen Dank schon einmal ! smile

LG
Patrick

P.S.: Ich weiß, dass manche von euch sagen werden ich solle mir das selber berechnen, aber warum etwas nochmal berechnen wenn es schon jemand vor mit getan hat. Hammer Prost
Ehos Auf diesen Beitrag antworten »

Um eine Kurve mit dem Parameter t umzuparametrisieren zu , muss die Bogenlängenfunktion s=s(t), welche du eigentlich suchst, schon bekannt sein. Das Umparametrisieren bringt also nix. Außerdem ist die Darstellung einer Kurve, welche nach der Bogenlänge s parametrisiert wurde, oft noch komplizierter, als bei einem anderen günstigen Parameter t.
GOLFMKI Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo, danke ersteinmal für deine Antwort.
Nun es geht mir nicht um die natürliche Parameterdarstellung, also der Umparametrisierung einer gegebenen Kurvenfunktion s(t). Weil wenn ich s(t) umparametrisiere zu t(s) habe ich nicht wirklich was gewonnen.

Denn wenn ich die Länge meines "Bogens" bestimmen soll, muss ich meinen x-Wert und y-Wert ableiten und beide summieren und dann unter eine Wurzel schreiben. Und dann auch noch ein Integral mit den Grenzen. Hier entstehen ja oftmals fiese Cosinus und Sinus Ausdrücke.

Meine Bogenlängenfunktion ist ja gleich der Bogenlänge. Für sehr viele, ja fast alle Sachen wie Zykloiden sind die Parameterdarstellungen gleich. Z.b die der Kardioide.

Die Bogenlängenfunktion ist im Integral von Null bis Zwei Pi: 2*cos(t/2) dt.
Somit ist die meine Bogenlängenfunktion und hier beispielhaft mit der Grenze 0 bis 2Pi.

Ich suche alle s(t) von allen oben aufgeführten Parametrisierungen.

Hoffentlich habe ich deine Antwort richtig verstanden. Hammer

LG
Patrick
GOLFMKI Auf diesen Beitrag antworten »

Keiner fertige Bogenlängenfunktionen zu obigen Parametrisierungen in seinen Unterlagen die er mir zur Verfügung stellen kann? Gott

Lieben Gruß
Patrick
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