Konvergenz von Reihen

01.12.2016, 15:25

Scientist123

Konvergenz von Reihen

Meine Frage:
Hallo Forum, bei folgender Aufgabenstellung bin ich mir unsicher, was ich machen soll.

Meine drei Anfangsbedingungen lauten:
1) Ich habe eine Reihe von k=1 bis unendlich über Ck, die absolut konvergent sein soll.
2)Ich habe ein Folge bk, die eine Nullfolge sein soll.
3)Die Reihe von k=1 bis unendlich über bk*Ck soll divergent sein.

Die Aufgabenstellung lautet, entweder Folgen bk,Ck zu finden, für die die Bedingungen erfüllt sind oder aber deren Nichtexistenz zu beweisen.

Meine Ideen:
Meine Idee war, dass es keine Folgen gibt, die diese Bedingungen erfüllen (das sagt ja schon das Dirichlet-Kriterium). Da wir dieses jedoch noch nicht eingeführt haben, müsste man das anders beweisen und kommt am Beweis der partiellen Summation nicht vorbei.

Ist das richtig? Oder übersehe ich da etwas und es gibt solche Folgen doch. Falls Die Reihe von Ck nur konvergieren müsste, wäre ja alles klar, aber mit der absoluten Konvergenz..

01.12.2016, 15:28

IfindU

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RE: Konvergenz von Reihen
Du hast Recht. Zeige also, dass mit $\begin{eqnarray*} C_k \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b_k \end{eqnarray*}$ wie in 1), 2) sofort die absolute Konvergenz von $\begin{eqnarray*} (b_k C_k) \end{eqnarray*}$ folgt. Dafür reicht es eine recht grobe Abschätzung (mit (2)) zu finden, so dass diese Konvergenz aus (1) folgt.

01.12.2016, 15:36

scientist123

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meinst du mit abs KKonvergenz von (Ckbk) von der Reihe Ck*bk oder?

01.12.2016, 15:37

IfindU

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Ehm ja, war unsauber von mir ausgedrückt.

01.12.2016, 15:44

scientist123

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Ja kein Problem.

Hm.. aber nur weil bk eine Nullfolge ist, muss doch die Reihe von bk nicht konv. (siehe harm Reihe) oder, d.h. ich kann doch keine Abschätzung machen, sodass aus bk die Eigenschaft von 1) folgt oder?

01.12.2016, 15:48

IfindU

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Du solltest das so sehen: Die Reihe über die $\begin{eqnarray*} C_k \end{eqnarray*}$ konvergiert schon absolut. Nun "stoerst" du diese bereits schnell fallende Folge durch eine weitere Folge $\begin{eqnarray*} b_k \end{eqnarray*}$ . Wenn $\begin{eqnarray*} b_k \end{eqnarray*}$ nicht 'schlimm' ist, so kann es die Eigenschaft von $\begin{eqnarray*} C_k \end{eqnarray*}$ absolut summierbar zu sein, nicht zerstoeren.

Ich war jetzt absichtlich etwas wage bei der Wortwahl. Aber du kannst dir denken, dass 2) sagt, dass b_k eine 'gute' Folge ist.

01.12.2016, 15:55

scientist123

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Okey danke smile

Also würde ich so argumentieren, dass ich sage.
bk ist eine Nullfolge und Ck ja auch, da die Reihe über Ck konvergiert. Das heißt, dass nach den Limes-Rechenregeln ja insbesondere auch bk*Ck eine Nullfolge ist, die nun ja (ich bin jetzt auch waage) noch schneller gegen die Null konvergiert als Ck. , woraus ja dann aufjedenfall die Konvergenz der Reihe über bk*Ck folgt. So richtig?

01.12.2016, 16:01

IfindU

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Genau, das ist die Idee. Da die Reihe über $\begin{eqnarray*} b_k C_k \end{eqnarray*}$ schneller gegen 0 konvergiert, kann man den Reihenwert gegen den von $\begin{eqnarray*} C_k \end{eqnarray*}$ (mit einer zusätzlichen multiplikativen oder additiven Konstante) abschätzen.

01.12.2016, 16:20

scientist123

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Ist es plausibel, das epsilon aus der Konvergenzdefinition als multiplikative konstante zu nehmen und das dann aus der Summe rauszuziehen?

01.12.2016, 16:26

IfindU

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Das könnte man machen. Aber das gilt erst für $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ groß genug. Die ersten (endlich vielen) Summanden würden als additive Konstante dazu kommen.

01.12.2016, 16:27

scientist123

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So in etwa. Ich weiß das Epsilon ist ja Grunde genommen nicht konst..

01.12.2016, 16:30

scientist123

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Okey. Aber die additiven konstanten ändern ja dann nichts an der Konvergenz. Die kann ich ja dann matsamt dem Epsilon aus der Summe ziehen oder?

01.12.2016, 17:08

IfindU

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Niemand zwingt dich $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ variabel zu wählen. Du kannst auch $\begin{eqnarray*} \epsilon =1 \end{eqnarray*}$ wählen. Und solange du zeigen kannst, dass es am Ende kleiner unendlich ist, ist alles gut.

Vielleicht zum Abschluss noch allgemeiner: Die Aussage gilt immer noch, wenn $\begin{eqnarray*} b_k \end{eqnarray*}$ nur beschränkt ist. Da sieht man auch alles was man zum Beweis braucht. Und natürlich ist jede konvergente Folge (insb. Nullfolge) beschränkt.

01.12.2016, 17:14

HAL 9000

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Anmerkung:

2) ist eigentlich viel zu viel verlangt. Die Konvergenz der Reihe $\begin{align*} \sum_k b_kC_k \end{align*}$ folgt in Kombination mit 1) bereits aus dem weitaus schwächeren

Zitat:

2') $\begin{align*} (b_k) \end{align*}$ ist beschränkt.

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