Satz über implizite Funktionen

01.12.2016, 16:40	balance	Auf diesen Beitrag antworten »
Satz über implizite Funktionen Hallo, sei $\begin{eqnarray} f=\chi\circ\varphi \end{eqnarray}$ wobei $\begin{eqnarray} \varphi: \mathbb R^2\to\mathbb R^2, \quad (x,y)\mapsto (u,v):=(e^x+2y, xe^y) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \chi: \mathbb R^2\to \mathbb R^2, \quad (u,v)\mapsto (s,t:=(1+u+v,u^2v) \end{eqnarray}$ Zeige, dass es Umgebungen U von $\begin{eqnarray} (0,0) \end{eqnarray}$ und V von $\begin{eqnarray} f(0,0) \end{eqnarray}$ gibt so dass die Funktion $\begin{eqnarray} f: U\to V \end{eqnarray}$ eine Bijektion ist. Frage: Also, da es ein sehr kleines Thema ist hat es immer etwas gelitten, weshalb mein Verständnis wohl nur sehr pberflächlich ist. Jedenfalls beginne ich immer damit, $\begin{eqnarray} f(p_0)=0 \end{eqnarray}$ aufzustellen. Da dies ja eine Bedingung des Satzes ist. Hier misfällt mir das. Ich habe ja, $\begin{eqnarray} f(x,y)=(1+e^x+2y+xe^y, \ (e^x+2y)^2xe^y) \end{eqnarray}$ . Dann gilt aber $\begin{eqnarray} f(0,0)\neq 0 \end{eqnarray}$ , leider sehe ich gerade nicht, wie ich das korrekte Gleichungssystem kriegen. Also, ich weis nicht. Das Auflösen selbst, also das Ableiten und all das wäre kein problem, aber irgendwie scheitere ich einfach an der Aufgabenstellung. Die Frage ist also, wie ich sozusagen die gegebenen Funktionen nach Null auflöse.
06.12.2016, 10:30	balance	Auf diesen Beitrag antworten »
Hat niemand nen Tipp?
06.12.2016, 10:33	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Satz über implizite Funktionen benötigt nicht, dass $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ die 0 auf die 0 abbildet. Ich kann mir vorstellen, dass ihr ihn dennoch so formuliert habt, weil er kaum schwächer ist. In dem Fall definiere $\begin{eqnarray} g(x,y) = f(x,y) - f(0,0) \end{eqnarray}$ . Zeige, dass $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ eine Bijektion auf den richtigen Mengen ist und dann folgere die Bijektivität von $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ auf leicht verschobenen Mengen.
07.12.2016, 13:39	balance	Auf diesen Beitrag antworten »
danke, ich schau mir das mal an.

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