Summe linearer Unterräume

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Statista Auf diesen Beitrag antworten »
Summe linearer Unterräume
Meine Frage:
Bestimmen Sie die von (1,0) und (1,2) jeweils allein erzeugten linearen Unterräume des R^2 (R anstatt dem Zeichen für alle reellen Zahlen) und deren Summe. Ist diese Summe direkt?

Meine Ideen:
1. Der erzeugte lineare Unterraum wäre doch im Fall von (1,0) einfach nur eine Funktion, wie man das aus der Schule kennt, mit f(x)= 0. Ist das richtig gedacht? Wie schreibt man das auf?
2. Der erzeugte lineare Unterraum wäre doch im Fall von (1,2) einfach nur eine Funktion, wie man das aus der Schule kennt, mit f(x)= 2x. Gleiche Fragen: Ist das hier richtig gedacht? Wie schreibt man das auf?
3. Im Fall 1 ist die Summe direkt und im Fall zwei ist die Summe nicht direkt?
4. Wie ich die Summen jeweils angeben hab ich keine Ahnung gerade
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Summe linearer Unterräume
Zitat:
Original von Statista
1. Der erzeugte lineare Unterraum wäre doch im Fall von (1,0) einfach nur eine Funktion, wie man das aus der Schule kennt, mit f(x)= 0. Ist das richtig gedacht? Wie schreibt man das auf?
2. Der erzeugte lineare Unterraum wäre doch im Fall von (1,2) einfach nur eine Funktion, wie man das aus der Schule kennt, mit f(x)= 2x. Gleiche Fragen: Ist das hier richtig gedacht? Wie schreibt man das auf?

Naja, man kann sich das so veranschaulichen in diesem Beispiel. Aber dabei sollte man es dann auch belassen. Letztlich ist hier gar nicht viel zu tun. Von (1,0) erzeugt wird der Unterraum



Analog



Wie die Summe definiert ist, kannst du hier nachlesen. Direkt ist diese Summe, wenn gilt, der Schnitt also nur den Nullvektor enthält. Was du mit "Fall 1" und "Fall 2" meinst, weiß ich nicht.
 
 
Statista Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Summe linearer Unterräume


Wäre der Schnitt der beiden Mengen dann nicht ? Damit wäre die Summe nicht direkt.

Die Summe ist dann einfach die Addition der beiden Vektoren? verwirrt
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Summe linearer Unterräume
Zitat:

Statt das so aufzuschreiben, beseitige doch einfach den zweiten Parameter b, indem du ihn einfach durch a ausdrückst:



Zitat:
Original von Statista
Wäre der Schnitt der beiden Mengen dann nicht ? Damit wäre die Summe nicht direkt.

Wie kommst du auf diesen Schnitt? Ist denn wirklich klar, was eigentlich mit "Schnitt" gemeint ist?

Zitat:
Die Summe ist dann einfach die Addition der beiden Vektoren?

Die Summe von und besteht aus sämtlichen möglichen Linearkombinationen aller Vektoren aus und .
Statista Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Summe linearer Unterräume
und , lassen sich ja nur durch den Nullvektor linear kombinieren, ist der dann die Summe? Und der Schnitt ist damit direkt?
Statista Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Summe linearer Unterräume
Also ich hab die Vektoren und , die erzeugten linearen Unterräume sind und und diese letzteren Vektoren müssten ja jeweils meine lineare Hülle sein, da sie ja jeweils alle möglichen Linearkombinationen meiner ersteren Vektoren angeben. Also ist die Summe hier nicht trivial einfach: < , >

Ist der Schnitt der Nullvekor, weil ich beide Vektoren nur durch den Nullvektor linear kombinieren kann?
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Summe linearer Unterräume
Zitat:
Original von Statista
Also ist die Summe hier nicht trivial einfach: < , >

Es ist natürlich ungünstig, bzw. sogar falsch, hier bei beiden Vektoren a als Parameter zu nehmen. Das hätte ich oben auch nicht tun sollen, aber da lagen ein paar Stunden dazwischen und ich hab da nicht drauf geachtet in dem Moment.

Die (direkte) Summe besteht aus



natürlich mit



aus Dimensionsgründen.

Zitat:
Original von Statista
Ist der Schnitt der Nullvekor, weil ich beide Vektoren nur durch den Nullvektor linear kombinieren kann?

Der Schnitt ist nur der Nullvektor, weil sonst eben keiner drin liegt. Kann man doch durch gleichsetzen leicht ausrechnen. Sei



Liefert ein extrem einfaches LGS mit nur einer Lösung, nämlich . Mehr gibt es nicht.
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